$a)$ Az egyenletben $x$ nem lehet negatív, mert akkor $\sqrt[]{x}$ nem valós, ‐ és 0 sem lehet, mert akkor a kitevőkben $0^0$ állna, márpedig a 0 kitevős hatvány csak 0-tól különböző alapokra van értelmezve. Ezek szerint $x>0$. ‐ Másrészt látjuk, hogy $x=1$ megoldása az egyenletnek (mindkét oldal értéke 1), ezért a további esetleges gyökök keresésében feltehetjük, hogy $x\ne 1$. ‐ A két oldali alapok egyezése folytán a hatványok csak úgy lehetnek egyenlők, ha a kitevők egyenlők: $x^{\sqrt[]{x}}={\sqrt[]{x}}^x$. A nem negatív $x$-ekre érvényes $x={\left(\sqrt[]{x}\right)}^2$ azonosság alapján a bal oldalt átalakítva: ${\sqrt[]{x}}^{2\sqrt[]{x}}={\sqrt[]{x}}^x$. Mivel $\sqrt[]{x}\ne 1$, azért a fenti gondolatot újra alkalmazva $2\sqrt[]{x}=x$. Innen $4x=x^2$ és az egyenletet $x=4$-en kívül más pozitív szám nem elégítheti ki. Ezzel a bal oldali kitevő $4^{\sqrt[]{4}}=16$, a jobb oldali: $2^4=16$, tehát $x=4$ is gyök (mindkét oldal értéke 4 294 967 296).
$b)$ Az egyenletrendszer második egyenletének (amelyben nyilván $b>0$ és $b\ne 1$) csak akkor van értelme, ha $x$, $y$ pozitívok; innen $y=x^m$. Az $y$ kiküszöbölésével $x^m=mx$, $x^{m-1}=m$, végül