Kezdőlap


Feladat:	561. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hanyi Zsolt
Füzet:	1959/december, 173. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/április: 561. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ismeretlenek egyike sem 0 (különben legalább az egyik egyenlet bal oldala 0 volna), továbbá egyenlő jelűek, különben $\sqrt[]{x y}$ -nak nem volna értelme; tegyük fel egyelőre, hogy mindkettő pozitív. Ekkor $\sqrt[]{x y} = \sqrt[]{x} \cdot \sqrt[]{y} = x^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}}$ és egyenleteink így alakíthatók:

\begin{matrix} x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}}) = 105, y^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}}) = 70. \end{matrix}

Az előzők szerint a zárójeles kifejezés pozitív; azt kiküszöbölve (röviden: a két egyenlet osztásával),

x^{\frac{l}{2}} : y^{\frac{1}{2}} = 105 : 70 = 3 : 2

, tehát

y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{\frac{1}{2}} / 3

y^{\frac{3}{2}} = 8 x^{\frac{3}{2}} / 27

, és evvel az első egyenletből

35 x^{2} / 27 = 105

x^{2} = 81

x = 9

, végül

y = 4

. Ez az értékpár mindkét egyenletet kielégíti.
Más gyök nem is lehetséges, mert az

x

y < 0

feltevés akár

x = y

; akár

x < y

, akár

x > y

-nal lehetetlenségre vezet. Valóban, ha

x

és

y

negatívok és

x = y

, akkor

\sqrt[]{x y} = \sqrt[]{x^{2}} = | x | = - x = - y

, és mindkét egyenlet bal oldala 0. Ha

x < y < 0

, akkor a

\sqrt[]{x y}

pozitív szám nagyobb

a - y

pozitív számnál:

\sqrt[]{x y} > - y

, innen a negatív

x

-szel szorozva

x \sqrt[]{x y} < - x y

, tehát a második egyenlet bal oldala negatív:

y^{2} + x \sqrt[]{x y} < y^{2} - x y = y (y - x) < 0

, mert az utolsó alakban

y < 0

és

y - x > 0

. Végül

y < x < 0

mellett hasonlóan az első egyenlet bal oldala negatív, ugyanis

y < x

x y > x^{2}

\sqrt[]{x y} > - x

y \sqrt[]{x y} < - x y

és

x^{2} + y \sqrt[]{x y} < x^{2} - x y = x (x - y) < 0

, mert

x < 0

és

x - y < 0

Hanyi Zsolt (Szombathely, Nagy Lajos g. II. o. t.)

Megjegyzések. 1. Ezúttal is több olyan versenyző volt, aki önkényesen feltette, hogy az egyenletrendszer gyökei egész számok, és ennek alapján próbálgatásszerűen megkereste azokat. Ilyen dolgozat nem fogadható el, mert ez az eljárás nem biztosít arról, hogy nincs más, nem egész megoldás.
2. Sokan

x^{2} = 81

alapján

x = \pm 9

-et,

y = \pm 4

-et adták meg megoldásnak, és a négyzetgyökös egyenletnél elengedhetetlen próbát mellőzve nem zárták ki az

x = - 9

y = - 4

értékpárt, ezért hiányos a dolgozatuk. A fenti megoldásban az

x > 0

feltevés alapján jutottunk

x^{2} = 81

-re, ezért

x \neq - 9