Feladat: 560. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Gonda Júlia ,  Molnár Emil 
Füzet: 1959/december, 172. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1959/április: 560. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Tegyük fel, hogy fennáll az első három egyenlőség, vagyis az a,b,c,...,h ismeretlenekre teljesül a következő három egyenlet:

(S1=S2-ből)(I)a+b+c=d+e+f,(S1=S3-ból)(II)a=-d+g+h,(S1=O2-ből)(III)a+c=e+g;
megmutatjuk, hogy ekkor teljesül a negyedik is:
(S1=O3-ból)(IV)a+b=f+h.
Valóban, (IV) bal oldalát előállíthatjuk (I) bal oldalából c kivonásával, c-t pedig (III) és (II) bal oldalából kivonással:
(a+b+c)-[(a+c)-a]=a+b,
és ugyanezen kivonások (I)-(III) jobb oldalából éppen (IV) jobb oldalát állítják elő:
(d+e+f)-[(e+g)-(-d+g+h)]=f+h,
tehát a negyedik egyenlőség ‐ más szóval a (IV) egyenlet ‐ következménye az első háromnak, (I)‐(III)-nak.
Hogy (1)‐(III) bármelyike ugyancsak következménye a kimaradó három egyenlőségnek, ez most már abból adódik, hogy ha egy egyenlet következménye más egyenleteknek, akkor az utóbbi egyenletek bármelyike is következménye a kimaradó egyenleteknek.
 

Molnár Emil (Győr, Révai M. g. II. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. Megállapításunk jelképesen így írható: (I)-(III)+(II)=(IV). Ebből pl. (I)+(II)-(IV)=(III) és hasonlóan (II) és (I) is előállítható.
2. A versenyzők legtöbbje a négy egyenlőség mindegyikéről külön mutatta meg, hogy következménye a többi háromnak. Itt a matematikának arra a törekvésére láthatnak ők példát, hogy hacsak lehet, egymáshoz hasonló, több lépésből álló meggondolásokat is egycsapásra végezzünk el.
 

II. megoldás: Az első oszlop összege egyenlő az első soréval: O1=a+d+(b+c-d)=a+b+c=S1. Másrészt a három sorban ugyanaz a kilenc szám szerepel, mint a három oszlopban, ezért S1+S2+S3=O1+O2+O3, tehát S2+S3=O2+O3. Feltevésünk szerint itt valamelyik három szám S1-gyel egyenlő, ezért a negyedik értéke is S1.
 

Gonda Júlia (Makó, József A. g. II. o. t.)