Kezdőlap


Feladat:	559. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dömötör Gyula , Németh István
Füzet:	1959/november, 140. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Tetraéderek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/március: 559. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elég a bizonyítást pl. az $S A$ szakasz osztáspontján átmenő és a $B C D$ lappal párhuzamos síkra elvégezni, mert a súlyponthoz viszonyítva egyik csúcs és lap sincs kitüntetve. ‐ A tetraéder $S$ súlypontja a súlyvonalakat a csúcstól számítva $3 : 1$ arányban osztja (l. az idézett cikkben), így a $B C D$ lap súlypontját $S_{a}$ -val jelölve $A S = 3 A S_{a} / 4$ . Másrészt $K$ az $A S$ szakaszt $4 : 5$ arányban osztja, azért $A K = 4 A S / 9 = A S_{a} / 3$ , vagyis $K$ az $A S_{a}$ súlyvonalat harmadolja.
Jelöljük a $K$ -n át $B C D$ -vel párhuzamosan fektetett $T$ síknak az $A B$ , $A C$ , $A D$ élekkel való metszéspontját $B_{1}$ , $C_{1}$ , $D_{1}$ -gyel.

A B S_{a}

sík a

B C D

és

T

síkokat párhuzamos egyenesekben metszi, ezért az

A B_{1} K

és

A B S_{a}

háromszögek hasonlók:

A B_{1} : A B = A K : A S_{a} = 1 : 3

. Ugyanez áll

C_{1}

D_{1}

-re is; ezzel a bizonyítást befejeztük.

Németh István (Budapest, Bolyai J. g. I. o. t.)

Megjegyzés. A bizonyítást így is befejezhetjük: mivel

T

párhuzamos a

B C D

síkkal, azért a lemetszett

A B_{1} C_{1} D_{1}

tetraéder hasonló az

A B C D

tetraéderhez, ezért minden megfelelő lineáris méretük aránya ugyanaz,

1 : 3

Dömötör Gyula (Szeged, Radnóti M. g. II. o. t.)