A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Tekintsük elsőnek a külső érintkezések esetét. Legyen a , , körök középpontja rendre , , , az első kettő sugara , , és válasszuk az indexezést úgy, hogy ; legyen az egyenesnek , -vel való második metszéspontja , , és -vel való metszéspontja . Erről a -ról mutatjuk meg, hogy -nek minden más helyzetén is rajta fekszik. 1. ábra Az érintések folytán az , , és , , ponthármasok egy egyenesbe esnek (1. ábra), , elválasztják a középpontokat, ezért , az -nek ugyanazon partján fekszik, tehát az szakaszon kívül van. Az , és egyenlő szárú háromszögekből , és mivel és irányítása egyező, azért , és az , háromszögek hasonlók. Ebből , tehát , vagyis az szakasznak -n túli meghosszabbításán fekszik, továbbá ( alapján -nak -től való távolsága , és ez valóban független -tól. Másrészt és irányítása is egyező, tehát a , körök egy-egy párhuzamos és egyirányú sugarának végpontjait összekötő egyenes, pedig ennek a körök centrálisával való metszéspontja, vagyis a két kör külső hasonlósági pontja. Ugyanígy bizonyítjuk az állítást, ha a változó kör és mindegyikével belső érintkezésben van (1. ábra köre, ennek ‐ hogy ábránk ne váljék zsúfolttá, azt választottuk, amelynek érintési pontjai éppen , ; a bizonyítás megfordításából kiderül, hogy ilyen kör van). A meggondolás bevezető része így módosul: ugyanazon oldalán van -nek, mint , ugyanígy áll is -höz képest, ezért , ismét ugyanazon oldalán van nek, ismét az szakaszon kívül fekvő -ra jutunk. (Az ábrán és , valamint az sugarú belső érintkezése olyan, hogy magába foglalja az adott köröket: ; meggondolásunk azonban és esetén is érvényes.) 2. ábra Hasonlóan bizonyítható a vegyesen külső és belső érintkezések esete is (a 2. ábra ismét két ilyet mutat; ezekben is az és pontok szerepe felcserélődik, a kör -et kívülről, -t belülről érinti és benne van -ben, pedig benne van -ben és kívülről érinti -t). A bizonyítás annyiban módosul, hogy megfelelője: az szakaszon van, ugyanis az -nek ellentétes oldalán van mint , és -nek ugyanazon oldalán, mint , ezért és az -nek ellentétes oldalán feküsznek, másrészt hogy a hasonló háromszögek -nél fekvő szögei csúcsszögek; végül , ami ismét állandó. a két kör belső hasonlósági pontja. Ha az , ,,második'' metszéspontok egybeesnek , ill. -vel, akkor a szereplő egyenlő szárú háromszögek elfajulnak, mert az alapjukon fekvő szögek -osak lennének, ilyenkor is elfajul és -nek valamelyik közös érintőjébe. Akkor is szakasszá fajulnak a szereplő egyenlő szárú háromszögek, sőt a két hasonló háromszög is, ha rajta van az egyenesen; ilyenkor , is az -n van, tehát , átmegy -n és -n. Ha egybeesik -gyel, akkor . Ha már most , akkor kiindulási ábránk -re és felező merőlegesére tükrös, a ,,külső-külső'' és ,,belső-belső'' esetekben nem létezik, párhuzamos -vel; a többi esetek pontja ilyenkor az felezőpontjába esik. Ezek az , ill. képletből is kiolvashatók, az előbbi miatt értelmetlenné válik. Összefoglalva: az egyenes a , körök külső, ill. belső hasonlósági pontján megy át aszerint, hogy -nak a és -vel való érintkezése megegyező, ill. ellentétes értelmű.
Knuth Előd (Budapest, I. István g. II. o. t.) | II. megoldás: Az állítást ábránknak térbeli értelmezést adva bizonyítjuk be. Állítsunk , , -ra egyenlő nyílásszögű (más szóval hasonló) , , forgáskúpokat, legyenek ezek csúcsai , , .
A kúpok csúcsát ábránk síkjának alkalmas oldalára téve elérhetjük, hogy egy-egy alkotója egybeesik , ill. egy alkotójával, és a kúpok a közös alkotó mentén érintik is egymást. Éspedig ha két körünk között külső érintkezést kívánunk, akkor kúpjaik csúcsát két ellentétes oldalára tesszük (ilyenkor az alkotószakaszokhoz hozzágondoljuk -en túl való folytatásukat, az alkotók tehát a csúcsból kiinduló félegyenesek), belső érintkezésük esetén pedig -nek ugyanazon oldalára kerülnek a csúcsok (ilyenkor elég alkotószakaszra gondolni). Elsőnek pl. és -et helyezzük el, majd -t a -hoz viszonyítva. Így eredeti ábránk körei a kúpoknak -sel való metszésvonalai, mindegyik középpont a megfelelő -nek -en való vetülete, az és egyenesek a közös alkotók vetületei, és pedig a közös alkotóknak -en való döféspontjai. Most már láthatjuk, hogy ezen alkotók egybeesését (a csúcsok elhelyezésén felül) egyrészt az biztosítja, hogy minden alkotó ugyanakkora szöggel hajlik -hez, másrészt az, hogy benne vannak az -en, -n át -re merőlegesen álló síkban. Most már a vizsgálandó egyenes a közös alkotók síkjának (másképpen: a , , csúcsokkal meghatározott síknak) -sel való metszésvonala. -ben benne fekszik a egyenes is, ezért ennek -sel való döféspontja -en fekszik. Ha és vele a követelményeknek megfelelően változik, akkor a egyenes körül elfordulva más-más helyzetet vesz fel, de állandóan átmegy -n, és így ugyanez áll -re is. ‐ Amíg és sugarai különbözők, addig és -től különböző távolságban vannak, ezért biztosan létezik. Ha a sugarak egyenlők, és és -nek ugyanazon oldalára kerültek (a ,,belső-belső'' és a ,,külső-külső'' eset), és ezért párhuzamos -sel, ebben az esetben ‐ és csak ebben ‐ nem létezik, az egyenesek párhuzamosak -vel és így egymással.
Faludi Irén (Budapest, Ságvári E. gyak. lg. II. o. t.) |
|