Kezdőlap


Feladat:	555. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Federics Mária , Gagyi Pálffy András
Füzet:	1959/november, 135 - 136. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/március: 555. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Alkalmazzuk a két pozitív szám számtani és mértani közepe közti egyenlőtlenséget az $n$ , $n + 1$ , ill. $n - 1$ , $n$ számpárokra, melyek tagjai egymástól különbözők:

\begin{matrix} \sqrt[]{n (n + 1)} < \frac{2 n + 1}{2}, ill. \sqrt[]{(n - 1) n} < \frac{2 n - 1}{2} . \end{matrix}

Innen

2

-vel szorozva és átrendezve

\begin{matrix} 2 \sqrt[]{n (n + 1)} - 2 n < 1, ill. 1 < 2 n - 2 \sqrt[]{(n - 1) n}, \end{matrix}

majd

\sqrt[]{n}

-nel osztva

(\sqrt[]{n} > 0)

a kívánt kettős egyenlőtlenséget nyerjük.

Federics Mária (Püspökladány, Ált. g. I. o. t.)

Megjegyzések. 1.

n

-ről csak azt használtuk ki, hogy nagyobb

1

-nél, egész voltát nem.

2. A

{(\sqrt[]{n} - \sqrt[]{n - 1})}^{2} > 0

és

{(\sqrt[]{n + 1} - \sqrt[]{n})}^{2} > 0

helyes egyenlőtlenségekből kiindulva hasonlóan jutunk célhoz.

Gagyi Pálffy András (Budapest, Széchenyi I. g. II. o. t.)

3. A kettős egyenlőtlenség ,,szélső'' kifejezéseire:

\sqrt[]{n + 1} - \sqrt[]{n} < \sqrt[]{n} - \sqrt[]{n - 1}

. Eszerint a természetes számok négyzetgyökeinek felsorolásában a lépésről lépésre való növekedés egyre kisebb és kisebb. Másképpen az

y = \sqrt[]{x}

függvény ‐ bár állandóan növekszik ‐ növekedésének ,,üteme'' ‐ legalábbis az egész

x

-értékek közt vizsgálva ‐ egyre lassúbb.