I. megoldás: A kívánt egyenlőséget megmutathatjuk az $S{S}_1$ szorzat tagról tagra való kiszámításával. A tagok száma ${\left(2n+1\right)}^2$, mindegyikük $\pm q^k$ alakú,¹ ahol $0\le k\le 4n$. Ha $0\le k\le 2n$, akkor $\pm q^k$-t akkor kapunk, ha $S$-ből $q^k-t\mathrm{,}{q}^{k-1}$-et, $\text{...}$, $q$-t, 1-et szorozzuk $S_1$-ből rendre 1-gyel, $-q$-val, $\text{...}$, $\pm q^{k-1}$-nel, $\pm q^k$-val, az ilyen tagok száma $k+1$. Az első szorzat előjele plusz, a továbbiaké váltakozva mínusz, ill. plusz; eszerint összegük páros számú tag, vagyis páratlan $k$ esetén 0, páros $k$ esetén $q^k$. Viszont $2n\le k\le 4n$, vagyis $0<k-2n\le 2n$ esetén akkor kapunk $\pm q^k$-t, ha $S$-ből a $q^{k-2n}\mathrm{,}{q}^{k-2n+1}\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{q}^{2n-1}\mathrm{,}{q}^{2n}$ tagot szorozzuk $S_1$-ből rendre a $q^{2n}\mathrm{,}-q^{2n-1}\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}\pm q^{k-2n+1}\mathrm{,}\pm q^{k-2n}$ taggal. Az előjelekre és az összegekre ugyanaz áll, amit a 0 és $2n$ közti $k$ kitevők esetére megállapítottunk. Ezek szerint az $S{S}_1$ szorzat $q$-nak minden páros kitevőjű hatványát $+1$ együtthatóval tartalmazza 0-tól $4n$-ig, páratlan kitevőjű hatványait pedig nem tartalmazza, tehát egyenlő a bizonyítandó egyenlőség bal oldalán álló kifejezéssel.