A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyenek az háromszög szögei rendre , , , és legyen , továbbá . A bizonyítást a következő esetek vizsgálatára bontjuk fel: 1) , ; 2) , ; 3) , . 1. ábra Az 1) és 2) esetekben a -os szögek , szára egybeesik a szög (belső) szögfelezőjével, és így egymással is. Az 1) esetben egyenlő szárú, így , így egybeesik -vel, ami megfelel a bizonyítandó állításnak. A továbbiakban feltesszük, hogy betűzése pozitív körüljárású, vagyis pl. az félegyenest körül -be az óramutató járásával ellentétes irányú, -nál kisebb forgás viszi át. ‐ A 2) esetben , így -en a pontok sorrendje: , , (2. ábra). 2. ábra Elegendő megmutatnunk, hogy ugyanazon partján fekszik -nek, mint . Ekkor ugyanis az háromszög körüljárása megegyezik a háromszögével, ez ismét egyezik -ével, ez pedig -ével, vagyis az , , körüljárással, ellentétes irányú körüljárásával, ami megfelel az állításnak. ‐ a háromszög belsejében van, mert -nek ugyanazon partján fekszik, mint és , és . Közelebbről folytán felező merőlegesének, vagyis a szög felezőjének -gyel ellentétes partján van , ezért az szög nagyobb a szög felénél, -nál. Másrészt és folytán kisebb -nál, az ezt -ra kiegészítő szög pedig nagyobb -nál. Így az háromszögből a szög kisebb -nál. Megmutatjuk még, hogy a és szögek forgása egyirányú, vagyis -t körül, -en át -nál kisebb forgás viszi át -be. A forgás ezek összege: . Valóban, mindkét forgás pozitív, ugyanis az háromszög egyező körüljárású -gyel, mert és az -nek ugyanazon partján vannak, másrészt az háromszög egyező körüljárású -vel, ez pedig -gyel, -gyel. Ezzel megmutattuk az állítás helyességét a 2) esetre. A 3) esetre megmutatjuk, hogy a félegyenest körül -be pozitiv, -nál kisebb forgás viszi át, tehát a körüljárás pozitív. 3. ábra Ehhez a 2) eset eredményeiből átvehetjük, hogy a szög pozitív, -nál kisebb forgás, ugyanis és folytán is áll . Eszerint az körüljárás pozitív, -t, -be pozitív forgás viszi át. E forgás szöge kisebb -nál, mert ; , így , és . ─ Másrészt az körüljárás is pozitív, mert a forgás pozitív, a -nál nagyobb pozitív forgás maradványa a kétszeri, -kal való csökkentés után. Ezért az forgás pozitív, éspedig kisebb -nál, mert az háromszögben , vagyis az háromszögben van az szögnél nagyobb vagy vele egyenlő szög is. Ezek szerint , amit bizonyítani akartunk. Mindezzel az állítást minden lehetséges esetben bebizonyítottuk.
Sasi Éva (Makó, József A. g. II. o. t.) |
|