Bármely páratlan számot felírhatunk két tényezős szorzatként: $2k-1=1$. $\left(2k-1\right)$, és így az $y^2-z^2=\left(y-z\right)\left(y+z\right)$ azonosság alapján két egész szám négyzetének különbségeként is. Ugyanis az $y-z=1$, $y+z=2k-1$ egyenletrendszerből $y=k$, $z=k-1$ egészek. Ezekhez $x=0$-t hozzávéve bármely $U$ páratlan szám a kívánt alakban így írható: $U=2k-1=0^2+k^2-{\left(k-1\right)}^2$, a $P$ páros számok pedig $x=1$-gyel: $P=2k=1^2+k^2-{\left(k-1\right)}^2$.
Megállapításunk minden egész számra érvényes, vagyis a negatívokra is. Éppen ezért az előállításban $U$ céljára $x=0$ helyett bármely $2j$ páros számot vehetünk, $P$ céljára pedig $x=1$ helyett bármely $2j-1$ páratlan számot. Eszerint minden egész szám végtelen sokféleképpen írható a kívánt alakban.