Kezdőlap


Feladat:	544. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bollobás Béla , Nagy Géza
Füzet:	1959/október, 64. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/február: 544. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $A$ osztály létszáma $a$ , akkor az 5-ös, 4-es, 3-as, 2-es eredményű tanulók száma $0, 15 a$ , $0, 3 a + 4$ , $0, 25 a$ , $0, 2 a$ . Ezek összege $a$ , innen $a = 40$ , és ennek megoszlása az előzők szerint: 6 kitűnő, 16 jó, 10 közepes, 8 elégséges. Így az átlageredmény $(6 \cdot 5 + 16 \cdot 4 + 10 \cdot 3 + 8 \cdot 2) : 40 = 3, 5$ .
A $B$ osztályban $6 - 1 = 5$ kitűnő van. Az osztály létszáma vagy 42, vagy 38, eszerint a 4-esek száma 17, vagy 15. Így 3-as és 2-es eredményü tanuló vagy $42 - 17 - 5 = 20$ van, vagy $38 - 15 - 5 = 18$ . Ezeknek $5 / 6$ része 3-as, ezért létszámuknak oszthatónak kell lennie 6-tal. Ez csak az utóbbi lehetőség mellett teljesül, eszerint 15 közepes, 3 elégséges és 15 jórendű tanuló van, az osztály létszáma 38, és átlageredménye: $(5 \cdot 5 + 15 \cdot 4 + 15 \cdot 3 + 3 \cdot 2) : 38 = 3, 58$ .
Így a versenyt a $B$ osztály nyerte meg.

Nagy Géza (Debrecen, Ref. g. I. o. t.)

Megjegyzések: 1. Az

A

osztály átlagát a létszám kiszámítása nélkül is megkaphatjuk. A 4-esek ugyanis az osztálynak;

100 - (15 + 25 + 20) = 40 %

-át teszik ki, így az átlag

(15 \cdot 5 + 40 \cdot 4 + 25 \cdot 3 + 20 \cdot 2) : 100 = 3, 5

.
2. Az

A

osztály eredményeinek felhasználásával a választ a

B

osztály

b

létszámának eldöntése nélkül is megadhatjuk. Ebben az 5-ösök száma 5, a 4-eseké

b / 2 - 4

, így a hátralevőké:

b - 5 - (b / 2 - 4) = (b - 2) / 2

, ebből a 3-asok száma

(5 b - 10) / 12

, a 2-eseké

(b - 2) / 12

. Az átlageredmény:

\begin{matrix} \frac{1}{b} [5 \cdot 5 + 4 (\frac{b}{2} - 4) + 3 \cdot \frac{5 b - 10}{12} + 2 \cdot \frac{b - 2}{12}] = \frac{41}{12} + \frac{37}{6 b} . \end{matrix}

Ennek az

A

osztály átlagával szemben mutatkozó

\begin{matrix} \frac{41}{12} + \frac{37}{6 b} - 3, 5 = \frac{37}{6 b} - \frac{1}{12} = \frac{74 - b}{12 b} \end{matrix}

többlete csak

b > 74

esetén lehetne negatív. Viszont

b

legfeljebb 42, így a

B

osztály nyert.

Bollobás Béla (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o.t.)