Kezdőlap


Feladat:	543. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Sonnevend György
Füzet:	1959/október, 63. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Súlyvonal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/január: 543. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az $A B C$ háromszögben $A C B ∢ = 90^{\circ}$ , az $A C$ , $B C$ befogók felezőpontjai $B_{1}$ , $A_{1}$ , és $A A_{1} = s_{1}$ $B B_{1} = s_{2}$ , akkor az $A A_{1} C$ , $B B_{1} C$ derékszögű háromszögekből

\begin{matrix} s_{1}^{2} = \frac{a^{2}}{4} + b^{2}, s_{2}^{2} = a^{2} + \frac{b^{2}}{4} . \end{matrix}

Ebből, mint az

a^{2}

b^{2}

ismeretlenekre elsőfokú egyenletrendszerből

\begin{matrix} a^{2} = \frac{4}{15} (4 s_{2}^{2} - s_{1}^{2}), b^{2} = \frac{4}{15} (4 s_{1}^{2} - S_{2}^{2}) \end{matrix}

és így az ismert területképlet alapján

\begin{matrix} t = \frac{a b}{2} = \frac{4}{30} \sqrt[]{(4 s_{2}^{2} - s_{1}^{2}) (4 s_{1}^{2} - s_{2}^{2})} = \frac{2}{15} \sqrt[]{17 s_{1}^{2} s_{2}^{2} - 4 (s^{4} + s_{2}^{4})}, \end{matrix}

amit bizonyítanunk kellett.

Sonnevend György (Celldömölk, Berzsenyi D. g. I. o. t.)