Kezdőlap


Feladat:	542. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Simonovits Miklós
Füzet:	1959/október, 63. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/január: 542. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a második háromszög oldalai $k$ -szor kisebbek az első háromszög megfelelő oldalainál: $a = k a'$ , $b = k b'$ , $c = k c'$ , és írjuk be ezeket az első háromszögre felírt pythagorászi egyenlőség mindegyik tagjának egyik tényezőjébe: $a k a' + b k b' = c k c'$ . Innen $k (\neq 0)$ -val egyszerűsítve az első bizonyítandó egyenlőség adódik.
A második egyenlőség bizonyításához elég megmutatni, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{m_{c}^{2}}, \end{matrix}

ebből ugyanis az előző eljárással célhoz jutunk (mert

m_{c} = k m'_{c}

). ‐ A háromszög területének 2-szeresét kétféleképpen felírva

a b = c m_{c}'

, ezt négyzetre emelve, majd a Pythagorász‐tétel alapján:

a^{2} b^{2} = c^{2} m_{c}^{2} = (a^{2} + b^{2}) m_{c}^{2}

, innen pedig

a^{2} b^{2} m_{c}^{2}

-tel osztva a kívánt egyenlőség adódik.

Simonovits Miklós (Budapest, Radnóti M. g. I. o. t.)