Feladat: 540. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bollobás Béla ,  Farkas Zoltán ,  Kálmán Béla ,  Máté Eörs ,  Nagy Dezső 
Füzet: 1959/október, 61 - 62. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek nevezetes tételei, Szögfelező egyenes, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1959/január: 540. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Elég egyetlen (az egyenes szögnél kisebb) szögre adni felezési eljárást, pl. az ABC háromszög ACB∢=γ szögére. Mérjük rá a távolságfelrakóban rendelkezésre álló t távolságot a CA, CB szárakra, legyenek a végpontok D, E, tehát CD=CE=t (ha az eszköz változtatható, akkor célszerű a CA, CB szakaszok egyikét választani), és húzzuk meg DE-t. Legyen a szögvonalzó szöge σ, és tegyük fel egyelőre, hogy a hegyes szög (0<∘σ<90∘). Húzzuk meg a szögvonalzóval D, E-n át azt a d, e félegyenest, amely a DE, ill. ED félegyenessel a DE egyenes ugyanazon oldalán σ szöget zár be, végül kössük össze ezeknek F metszéspontját C-vel, ez a keresett szögfelező. ‐ Valóban, így a DEF háromszög egyenlő szárú (FD=FE), ugyanez áll DEC-re is, tehát CF a CDFE deltoidnak szimmetriatengelye. ‐ σ>90∘ esetén vegyük d, e-nek visszafelé való d', e' meghosszabbítását, ill. ezeknek F' metszéspontját. σ=90∘ esetén ez az eljárás nem használható. (Hegyes, ill. tompa σ esetén d, e-t, DE-nek C-vel ellentétes, ill. megegyező partján célszerű rajzolni, így F biztosan különbözik C-től.)

 

Máté Eörs (Szeged, Radnóti M. g. I. o. t.)
 

II. megoldás: A szögfelezőből az előbbi eljárás kis módosításával úgy is kaphatunk egy pontot, ha d, e a DC, EC-vel zár be σ szöget, éspedig egymással ellentétes forgási irányban (szükség esetén itt is áttérünk meghosszabbításaikra). ‐ Ez az eljárás nem használható, ha d és e (vagy meghosszabbításaik) a DE szakaszon fedik egymást, a és b-vel háromszöget alkotnak: γ+2σ=180∘, σ éppen pótszöge γ/2-nek, valamint akkor sem, ha d és e párhuzamosak, mert σ kiegészítő szöge γ/2-nek.
 

Farkas Zoltán (Hódmezővásárhely, Bethlen G. g. I. o. t.)
 

III. megoldás: Mérjük fel t-t az előbbi D, E-től a szárakra még egyszer D1, E1-ig és húzzuk meg a (mindig létező) DE1, ED1 egyeneseket. Ezeknek G metszéspontja benne van a keresett szögfelezőben. Ugyanis a CDE1 és CED1 háromszögek egymásnak a szögfelezőre nézve tükrös párjai, és G a DE1, ED1 oldalpárnak (egyetlen) olyan pontja, amely a tükrözéssel önmagába megy át.
 

Bollobás Béla (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.)

 

Megjegyzés. Számba véve a használt eszközöket, látjuk, hogy a T távolságfelrakót és az E egyenes vonalzót mind a három megoldásban használtuk, az S szögvonalzót viszont csak az I és II-ban. Ez azt a gondolatot adja, hogy E tulajdonképpen felesleges, hiszen egyenest S-sel is húzhatunk. De hátha mégsem ok nélkül engedte meg a feladat E használatát! ‐ Valóban E és S egyidejű használatával a párhuzamosoknak a közismert, elcsúsztatási eljárással való rajzolása is szerkesztési lépés (természetesen nem euklidészi értelemben). Ezt is használjuk a következő két megoldásban.
 

IV. megoldás: D és E-n át b, ill. a-val párhuzamost rajzolva (szerkesztve) rombuszt kapunk, ennek C-n átmenő átlója a keresett szögfelező.
 

Kálmán Béla (Debrecen, Kossuth L. gyak. g. I. o. t.)
 

V. megoldás: a-ra C-től a B-vel ellentétes irányba is felmérjük t-t, végpontja E*, és C-n át DE*-gal párhuzamosan meghúzzuk az f szögfelezőt. Így D, E, E* a C körül t sugárral írható k kör pontjai, így DE*E∢=DCE∢/2=γ/2, és ugyanekkora szöget zár be a-val f is. (A C-n át DE-vel párhuzamosan haladó egyenes pedig a C-nél fekvő külső szöget felezi.)
 

Nagy Dezső (Budapest, Piarista g. II. o t.)