Kezdőlap


Feladat:	539. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fischer Ádám
Füzet:	1959/október, 61. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Számsorozatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/január: 539. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $x_{1} = 2$ , $y_{1} = 3$ számpár megoldása az adott egyenletnek, mert $2 \cdot 2^{2} + 1 = 9 = 3^{2}$ . Megmutatjuk, hogy ha valamely pozitív egész $k$ sorszám mellett $x_{k}$ , $y_{k}$ megoldás, azaz $2 x_{k}^{2} + 1 = y_{k}^{2}$ , másképpen $2 x_{k}^{2} + 1 - y_{k}^{2} = 0$ , akkor az 1-gyel nagyobb $k + 1$ sorszámra az $x_{k + 1}$ , $y_{k + 1}$ számpár is megoldás. Valóban

\begin{matrix} 2 x_{k + 1}^{2} + 1 - y_{k + 1}^{2} = 2 {(3 x_{k} + 2 y_{k})}^{2} + 1 - {(4 x - k + 3 y_{k})}^{2} = (18 - 16) x_{k}^{2} + \\ + (24 - 24) x_{k} y_{k} + 1 + (8 - 9) y_{k}^{2} = 2 x_{k}^{2} + 1 - y_{k}^{2} = 0. \end{matrix}

Eszerint

k = 1

alapján

k + 1 = 2

-vel

x_{2}

y_{2}

is megoldás, ennek alapján

x_{3}

y_{3}

, is az, és így tovább minden természetes

k

sorszám mellett

x_{k}

y_{k}

megoldás.

Fischer Ádám (Pécs, Zipernovszky K. gépip. t. I. o. t.)