Kezdőlap


Feladat:	538. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Detre Villő , Máté Attila
Füzet:	1959/október, 60 - 61. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Diofantikus egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/január: 538. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$n = 1$ -re: $5 = 1^{2} + 2^{2}$ , $n = 2$ -re: $5^{2} = 3^{2} + 4^{2}$ . Ha már most $n$ páratlan: $n = 2 k + 1$ ( $k$ nemnegatív egész), akkor $5^{n} = 5^{2 k} \cdot 5 = 5^{2 k} \cdot 1^{2} + 5^{2 k} \cdot 2^{2} = {(5^{k})}^{2} + {(2 \cdot 5^{k})}^{2}$ ; páros $n$ -re pedig $n = 2 k$ ( $k$ pozitív egész): $5^{n} = 5^{2 k - 2} \cdot 5^{2} = {(3 \cdot 5^{k - 1)}}^{2} + {(4 \cdot 5^{k - 1})}^{2}$ . Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
A bizonyítás mutatja, hogy 5 helyett bármely olyan szám vehető alapnak, amely maga is, és négyzete is írható két természetes szám négyzetének összegeként. Ilyenek: $13 (= 2^{2} + 3^{2}$ , és $13^{2} = 5^{2} + 12^{2})$ , $17 (= 1^{2} + 4^{2}$ , és $17^{2} = 8^{2} + 15^{2})$ , $29 (= 2^{2} + 5^{2}$ , és $29^{2} = 20^{2} + 21^{2})$ , $...$ , $45 (= 3^{2} + 6^{2}$ , és $45^{2} = 27^{2} + 36^{2})$ , $50 (= 1^{2} + 7^{2} = 5^{2} + 5^{2}$ , és $50^{2} = 14^{2} + 48^{2} = 30^{2} + 40^{2})$ , $...$

Máté Attila (Szeged, Dózsa Gy. ált. isk. VI. o. t.)

Megjegyzések. 1. Ha

m

két különböző természetes szám négyzetének összege:

m = a^{2} + b^{2}

, akkor a második feltételnek (

m^{2}

ilyen felbonthatóságának) vizsgálatát mellőzhetjük, mert ez az

m^{2} = {(a^{2} + b^{2})}^{2} = {(a^{2} - b^{2})}^{2} + {(2 a b)}^{2}

átalakítás folytán teljesül. Eszerint páratlan

m

-re elég az

a^{2} + b^{2}

előállítás.

a = b

esetére azonban csak akkor biztosítja az említett átalakítás

m^{2}

-re a második feltétel teljesülését, ha egyik négyzetszámnak a 0-t is megengedjük. (Ebben az értelemben viszont minden szám négyzete két négyzetszám összegeként írható.) Pl.

18 = 3^{2} + 3^{2}

, és, mint könnyen belátható,

18^{2} = 324

csak a

0^{2} + 18^{2}

alakban írható két négyzetszám összegeként.

Detre Villő (Budapest, Lorántffy Zs. úti lg. II. o. t.)

2. Több dolgozat hivatkozott a következő tételre: egy természetes szám akkor és csakis akkor állatható elő két négyzetszám összegeként, ha törzsszámhatványok szorzatára való felbontásában egy

4 k + 3

alakú prímszám sem szerepel páratlan hatványon.¹ Az 1. megjegyzésből látjuk, hegy négyzetszámon, egész szám négyzetén nem szabad okvetlenül természetes szám négyzetét érteni. Az idézett versenytételhez fűzött 2. jegyzetből ‐ ,,A Waring‐féle problémakörről'' ‐ láthatóan a kérdés az, hogy bizonyos alakban előállítható természetes számoknak természetes számok négyzetösszegeként való előállításához legfeljebb hány tag szükséges. Feladatunk viszont ‐ kimondatlanul is ‐

5^{n}

-nek pontosan két természetes szám négyzetének összegeként való előállíthatóságára kívánt bizonyítást, illetőleg hasonló tulajdonságú alapok megadását kívánta.
3. Több dolgozat az

5^{1} = 1^{2} + 2^{2}

egyenlőségből és az

5^{k} = a^{2} + b^{2}

(

a

b

természetes számok) feltevésből a teljes indukció módszerével kívánta bizonyítani az állítást, mondván, hogy

5^{k + 1} = 5 \cdot 5 k = 5 a^{2} + 5 b^{2} = {(a + 2 b)}^{2} + {(2 a - b)}^{2}

. Itt

a + 2 b

természetes szám, de

2 a - b

abszolút értéke 0 is lehet, éspedig ha

b = 2 a

, ami

5^{k} = a^{2} + 4 a^{2} = 5 a^{2}

alapján

k = 2 j + 1

és

a = 5^{j}

esetén teljesül.

¹L. pl. Hajós‐Neukomm‐Surányi: Matematikai versenytételek, II. rész, 59. o., Tan-könyvkiadó, 1957. Középiskolai Szakköri Füzetek.