A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. -re: , -re: . Ha már most páratlan: ( nemnegatív egész), akkor ; páros -re pedig ( pozitív egész): . Ezzel az állítást bebizonyítottuk. A bizonyítás mutatja, hogy 5 helyett bármely olyan szám vehető alapnak, amely maga is, és négyzete is írható két természetes szám négyzetének összegeként. Ilyenek: , és , , és , , és , , , és , , és ,
Máté Attila (Szeged, Dózsa Gy. ált. isk. VI. o. t.) | Megjegyzések. 1. Ha két különböző természetes szám négyzetének összege: , akkor a második feltételnek ( ilyen felbonthatóságának) vizsgálatát mellőzhetjük, mert ez az átalakítás folytán teljesül. Eszerint páratlan -re elég az előállítás. esetére azonban csak akkor biztosítja az említett átalakítás -re a második feltétel teljesülését, ha egyik négyzetszámnak a 0-t is megengedjük. (Ebben az értelemben viszont minden szám négyzete két négyzetszám összegeként írható.) Pl. , és, mint könnyen belátható, csak a alakban írható két négyzetszám összegeként.
Detre Villő (Budapest, Lorántffy Zs. úti lg. II. o. t.) | 2. Több dolgozat hivatkozott a következő tételre: egy természetes szám akkor és csakis akkor állatható elő két négyzetszám összegeként, ha törzsszámhatványok szorzatára való felbontásában egy alakú prímszám sem szerepel páratlan hatványon. Az 1. megjegyzésből látjuk, hegy négyzetszámon, egész szám négyzetén nem szabad okvetlenül természetes szám négyzetét érteni. Az idézett versenytételhez fűzött 2. jegyzetből ‐ ,,A Waring‐féle problémakörről'' ‐ láthatóan a kérdés az, hogy bizonyos alakban előállítható természetes számoknak természetes számok négyzetösszegeként való előállításához legfeljebb hány tag szükséges. Feladatunk viszont ‐ kimondatlanul is ‐ -nek pontosan két természetes szám négyzetének összegeként való előállíthatóságára kívánt bizonyítást, illetőleg hasonló tulajdonságú alapok megadását kívánta. 3. Több dolgozat az egyenlőségből és az (, természetes számok) feltevésből a teljes indukció módszerével kívánta bizonyítani az állítást, mondván, hogy . Itt természetes szám, de abszolút értéke 0 is lehet, éspedig ha , ami alapján és esetén teljesül. L. pl. Hajós‐Neukomm‐Surányi: Matematikai versenytételek, II. rész, 59. o., Tan-könyvkiadó, 1957. Középiskolai Szakköri Füzetek. |