Kezdőlap


Feladat:	536. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csákó György , Gálfi László , Gergelics Lajos
Füzet:	1959/október, 59 - 60. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/január: 536. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen a kérdéses háromjegyű szám: $\bar{a b c}$ , ahol $a \neq 0$ . A két feltételből a három ismeretlen jegyre a

\begin{matrix} (\bar{b c} =) & 10 b + c = 8 a, \\ (\bar{a b} =) & 10 a + b = 8 c \end{matrix}

egyenletrendszert kapjuk. Innen a jegyek nem határozhatók meg, de pl.

a

-t és

c

-t kifejezhetjük

b

-vel, mint paraméterrel:

\begin{matrix} a = \frac{3 b}{2}, & (1) \\ c = 2 b . & (2) \end{matrix}

Mivel

a \neq 0

folytán

b

sem lehet 0, azért a keresett arány:

\begin{matrix} \frac{\bar{a c}}{b} = \frac{10 a + c}{b} = \frac{15 b + 2 b}{b} = 17. \end{matrix}

Gálfi László (Budapest, Fazekas M. g. I. o. t.)

A dolgozatok nagy része előbb magukat a lehetséges számokat határozta meg. Ilyenek a következők:

II. megoldás: (1) szerint

b

csak páros lehet, így (2) szerint

c

nem 0 és 4-nek többszöröse, tehát vagy

c = 4

, vagy

c = 8

. Ebből

b

megfelelő értékei 2, ill. 4,

a

pedig 3, ill. 6, tehát a feltételeknek csak a 324 és a 648 számok tehetnek eleget. Ezek valóban meg is felelnek. A középső jegy törlésével mindkét esetben ugyanaz az arány adódik: 34:2=68:4=17.

Csákó György (Sátoraljaújhely, Kossuth L. g. I. o. t.)

III. megoldás: (1) és (2) alapján a kérdéses szám:

100 a + 10 b + c = 150 b + 10 b + 2 b = 162 b

. Hasonlóan

a

-val is kifejezhető, mert

b = 2 a / 3

, és

c = 4 a / 3

\begin{matrix} \bar{a b c} = 100 a + 10 \cdot \frac{2 a}{3} + \frac{4 a}{3} = 108 a, \end{matrix}

végül

c

-vel

\bar{a b c} = 81 c

. Ezek szerint

\bar{a b c}

többszöröse 162-nek (így 81-nek is) és I08-nak, tehát legkisebb közös többszörösüknek, 324-nek is. Mivel pedig 3-jegyű, azért, csak 324, 648, 972 jöhet szóba. Az első kettőt már láttuk, a harmadik viszont nem teljesíti követelményeinket.

Gergelics Lajos (Pécs, Zipernovszky K. gépip. t. II. o.t.)

Megjegyzés. A megoldást az tette lehetővé, hogy a felírt kétismeretlenes egyenletrendszer homogén, nincs benne ismeretlent nem tartalmazó tag. Így az ismeretlenek aránya kiszámítható, a jegyek értékére viszont csak az egyjegyű (egész) számok jöhetnek szóba.