Kezdőlap


Feladat:	535. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bakó Károly , Juhász István
Füzet:	1959/október, 58 - 59. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/december: 535. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Képzeljük a feladatot megoldottnak, és legyen $e$ -nek a $P$ -n, $Q$ -n átmenő, egymással párhuzamos $a$ , $b$ egyenesekkel való metszéspontja $P_{0}$ , $Q_{0}$ , ‐ vagyis $O P_{0} = p$ , $O Q_{0} = q$ , éspedig az előírásnak megfelelően $O$ -tól ugyanazon, vagy ellentétes irányban, ‐ legyen továbbá $O Q$ -nak metszéspontja $a$ -val $Q_{1}$ . Ez $O$ -tól $Q$ -val egyező, ill. ellentétes irányban van aszerint, ahogyan $P_{0}$ és $Q_{0}$ .

O Q Q_{0}

és

O Q_{1} P_{0}

hasonló háromszögekből

O Q_{1} : O Q = O P_{0} : O Q_{0} = p : q

. Itt

O Q

p

q

ismertek, tehát az

O Q_{1} = O Q \cdot p / q

szakasz negyedik arányosként megszerkeszthető. Ezt

O Q

-ra az előírt irányban felmérve meghúzhatjuk

P Q_{1} = a

-t, majd ebből

O

körül írt

p

sugarú körrel

P_{0}

-t kimetszve az

O P_{0}

egyenesben megkapjuk

e

-et.
Valóban, így

O P_{0} = p

, és az

a

-val

Q

-n át húzott

b

párhuzamosnak

e

-vel való

Q_{0}^{*}

metszéspontjára

O P_{0} : O Q_{0}^{*} = O Q_{1} : O Q = p : q

, ezért

O Q_{0}^{*} = O P_{0} \cdot q / p = p

(így

Q_{0}^{*}

egybeesik az előbbi

Q_{0}

-val).

Q_{1}

egyértelműen megszerkeszthető (

O

és

Q

nyilván különbözök, és

p

és

q

egyike sem 0, tehát

Q_{1}

különbözik

O

-tól). Ugyanez áll

a

-ra is, hacsak nem

Q_{1} \equiv P

, ezt tehát ki kell zárnunk (ez csak úgy állhatna elő, ha

P

O Q

egyenesen lenne). Az említett körnek

a

-val 2, 1, vagy 0 közös pontja lesz, eszerint kapunk 2, 1, 0 megoldást. ‐ Nem fogadható el a megoldás akkor sem, ha e egybeesik

a

-val (vagy

b

-vel), mert ekkor metszéspontjuk (közös pontjuk) nem egyértelmű. Ekkor

O P_{0}

ugyanaz az egyenes, mint

P Q_{1}

, vagyis

P

rajta volna az

O Q_{1}

, másképpen

O Q

egyenesen (ezért

b

is egybeesnék

e

-vel). Azt az esetet tehát, ha

O

P

Q

egy egyenesen feküsznek, mindenképpen ki kell zárnunk.

Juhász István (Budapest, Madách I. g. I. o. t.)

Megjegyzések. 1.

Q_{1}

helyett

O P

-nek

b

-vel való

P_{1}

metszéspontját is használhatjuk.
2.

a

-t (vagy

b

-t) így is megkaphatjuk:
Messe az

a

-val

O

-n át húzott párhuzamos

P Q

-t

O'

-ben. Erre is áll, hogy

O' P : O' Q = O P_{0} : O Q_{0} = p : q

, tehát

O'

megszerkeszthető (

p

és

q

irányítását is figyelembe véve egyértelműen, pl.

O

-nak ugyanazon oldalára előírt

p

q

és

p < q

esetén

O' P : (O' Q - O' P) = p : (q - p)

alapján

P O' = P Q \cdot p / (q - p)

P Q

-nak

P

-n túli meghosszabbításán). Most már

a

-t (ill.

b

-t) az

O O'

-vet

P

-n (

Q

-n) át húzott párhuzamos adja.

Ez a szerkesztés sem vezet célhoz, ha

O

rajta van a

P Q

egyenesen.

Bakó Károly (Budapest, I. István g. II. o. t.)