A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Képzeljük a feladatot megoldottnak, és legyen -nek a -n, -n átmenő, egymással párhuzamos , egyenesekkel való metszéspontja , , ‐ vagyis , , éspedig az előírásnak megfelelően -tól ugyanazon, vagy ellentétes irányban, ‐ legyen továbbá -nak metszéspontja -val . Ez -tól -val egyező, ill. ellentétes irányban van aszerint, ahogyan és .
Az és hasonló háromszögekből . Itt , , ismertek, tehát az szakasz negyedik arányosként megszerkeszthető. Ezt -ra az előírt irányban felmérve meghúzhatjuk -t, majd ebből körül írt sugarú körrel -t kimetszve az egyenesben megkapjuk -et. Valóban, így , és az -val -n át húzott párhuzamosnak -vel való metszéspontjára , ezért (így egybeesik az előbbi -val). egyértelműen megszerkeszthető ( és nyilván különbözök, és és egyike sem 0, tehát különbözik -tól). Ugyanez áll -ra is, hacsak nem , ezt tehát ki kell zárnunk (ez csak úgy állhatna elő, ha az egyenesen lenne). Az említett körnek -val 2, 1, vagy 0 közös pontja lesz, eszerint kapunk 2, 1, 0 megoldást. ‐ Nem fogadható el a megoldás akkor sem, ha e egybeesik -val (vagy -vel), mert ekkor metszéspontjuk (közös pontjuk) nem egyértelmű. Ekkor ugyanaz az egyenes, mint , vagyis rajta volna az , másképpen egyenesen (ezért is egybeesnék -vel). Azt az esetet tehát, ha , , egy egyenesen feküsznek, mindenképpen ki kell zárnunk.
Juhász István (Budapest, Madách I. g. I. o. t.) | Megjegyzések. 1. helyett -nek -vel való metszéspontját is használhatjuk. 2. -t (vagy -t) így is megkaphatjuk: Messe az -val -n át húzott párhuzamos -t -ben. Erre is áll, hogy , tehát megszerkeszthető ( és irányítását is figyelembe véve egyértelműen, pl. -nak ugyanazon oldalára előírt , és esetén alapján , -nak -n túli meghosszabbításán). Most már -t (ill. -t) az -vet -n (-n) át húzott párhuzamos adja.
Ez a szerkesztés sem vezet célhoz, ha rajta van a egyenesen.
Bakó Károly (Budapest, I. István g. II. o. t.) |
|