Kezdőlap


Feladat:	534. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Molnár Emil , Veszelovszky Erzsébet
Füzet:	1959/október, 57 - 58. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt kör, Hozzáírt körök, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/december: 534. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. A $T_{a} T_{a a}$ egyenes megadja a $B C = a$ oldalegyenest. Az erre $T_{a}$ -ban emelt $a_{1}$ merőleges mértani hely a beírt $k$ kör $O$ középpontja számára. Még egy ilyen a $T_{a} T_{c}$ szakasznak, e kör húrjának $f$ felező merőlegese, amely egyszersmind a $B$ csúcsnál fekvő (belső) szögnek felezője. Így $O$ és $k$ megszerkeszthető, továbbá $f$ és $a$ metszéseként $B$ -t is megkapjuk, ebből pedig $B T_{c}$ -ben a $c$ oldalegyenest.

Most már a

B C

-hez hozzáírt

k'

kör

O'

középpontját is megkaphatjuk: a

T_{a a}

-ban

a

-ra emelt

a_{2}

merőleges és a

B

-ben

f

-re emelt

f'

merőleges (a

B

csúcsnál fekvő külső szög felezője) metszéseként, majd

k'

-t

O'

-ből és az

O' T_{a a}

sugárból. Végül a

b

oldalegyenest

k

és

k'

második közös külső érintőjében kaphatjuk meg.
Valamennyi szerkesztés egyértelmű, tehát legfeljebb egy megoldás van. ‐ Az

a

egyenes megszerkeszthető, ha

T_{a}

és

T_{a a}

különbözők;

O

létrejöttéhez az szükséges, hogy

T_{c}

ne essék

a

-ra,

B

-hez pedig az, hogy

f

ne adódjék

a

-val párhuzamosnak, vagyis hogy a

T_{c} T_{a} T_{a a}

szög ne legyen derékszög.

B

csak akkor megfelelő, ha kívül esik a

T_{a} T_{a a}

szakaszon, mert

T_{a}

, és

T_{a a}

-nak a

B C

szakaszon, vagyis

B

-nek ugyanazon oldalán kell lennie; ehhez szükséges, hogy

T_{a} T_{a a} < T_{c} T_{a a}

legyen.
Végül, hogy a szerkesztés befejezése az előírásnak megfelelő eredményt adjon, szükséges, hogy

k'

sugara nagyobbnak adódjék

k

sugaránál.
2. Ha

T_{c}

helyett

T_{a c}

van adva, akkor előbb

O'

-t és

k'

-t, továbbá

B

-t és

c

-t szerkesztjük.

a_{2}

-ből és

T_{a a} T_{a c}

-nek felező merőlegeséből (amely azonos az előbbi

f'

-vel), majd

B

és

c

felhasználásával

O

-t,

k

-t, és utolsó lépésben

b

-t. ‐ A szerkeszthetőség feltétele, hogy a három adott pont olyan háromszöget alkosson, amelyben

T_{a}

-nál nem derékszög van, és

T_{a} T_{a a} < T_{a c} T_{a a}

, továbbá, hogy

k

sugara kisebbnek adódjék

k'

-énél.

Veszelovszky Erzsébet (Makó, József A. g. II. o. t.)

Megjegyzés. A megoldás csak az érintések követelményét használta fel. Az érintési pontok és a csúcsok közti

B T_{a} = C T_{a a}

B T_{a a} = C T_{a}

egyenlőségek alapján

C

-t

B

-nek a

T_{a} T_{a a}

szakasz

A_{1}

felezőpontjára való tükörképeként is megkaphatjuk. Másrészt

A

-t az

O O'

egyenesnek

c

-vel való metszéspontja is megadhatja.

Molnár Emil (Győr, Révai M. g. II. o. t.)