Feladat: 532. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balkay Sarolta ,  Kecskés Lajos ,  Ujhelyi László 
Füzet: 1959/szeptember, 23 - 24. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tengelyes tükrözés, Pont körüli forgatás, Háromszögek nevezetes tételei, Trapézok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1958/december: 532. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A szokásos óraszámlapnak az órákat jelző pontjai a kört 12 egyenlő 30∘-os ívre osztják, ezért a kerületi szög tétele alapján CAB∢=45∘, ABC∢=75∘, BCA∢=60∘. Így az ACF derékszögű háromszög egyenlő szárú, tehát G felezi AC-t, AG=CG. Másrészt D rajta van az AC átmérőjű, tehát G középpontú Thalész-körön, így a CDG háromszögben GC=GD; és mivel DCG∢=60∘, azért ez a háromszög egyenlő oldalú, tehát CD=CG=AG, és ezt kellett bizonyítanunk.

 

Balkay Sarolta (Budapest, Szilágyi Erzsébet gyak. lg. II. o. t.)

 

II. megoldás: Legyen AD és FG metszéspontja H. A bizonyítandó egyenlőséget a CDH és AGH háromszögek egybevágóságából mutatjuk meg.
 
 

A használt magasságvonalaknak, valamint az FG(⊥AC) egyenesnek az óraszámlap további pontjai révén más jelentést is tulajdoníthatunk. Éspedig a BA-ra merőleges CF azonos a számlap 84¯ húrjával, mert a BA≡51¯ húrra merőleges irányt az 51¯-ből 90∘-os ‐ a számlapon ,,3 órányi'' ‐ elforgatással előálló 84¯ húr is megadja, és C azonos a 8 ponttal. Így az F pont egyben az átlók metszéspontja az 1458¯ egyenlő szárú trapézben, tehát a G-t és H-t előállító, az AC-re merőleges FG egyenes szimmetriatengelye e trapéznak, felezi AC-t, és CH=AH.
Hasonlóan a BC-re merőleges AD azonos 16¯-tal, mert a BC≡58¯-ra merőleges irányt 25¯ is kijelöli, és 16¯ párhuzamos evvel, mert az 1256¯ négyszög is egyenlő szárú trapéz. Így AD≡16¯-nak FG-re való tükörképe 83¯, és ez átmegy H-n, tehát DCH∢=583¯∢=816¯∢=GAH∢.
Eszerint a CDH és AGH derékszögű háromszögek valóban egybevágók, és így megfelelő oldalaikként CD=AG.
 

Kecskés Lajos (Szolnok, Verseghy F. g. I. o. t.)
 

III. megoldás: Legyen BC≡58¯-nak és FG-re való 41¯≡4¯A tükörképének metszéspontja K, ‐ természetesen rajta az FG-n. A KAC háromszög egyenlő oldalú, ‐ mert A és C-nél levő szögének szárai között ,,4 órányi'', azaz 120∘-os ívei vannak a körnek. Ebben a háromszögben D, valamint az előzők szerint G magasságtalppontok, ezért CD=CK/2=CA/2=GA.
 

Ujhelyi László (Vác, Sztáron S. g. II. o. t.)