Kezdőlap


Feladat:	528. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bollobás Béla , Fekete Rozália
Füzet:	1959/szeptember, 22 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/december: 528. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen a keresett pozitív szám $\bar{x y} = 10 x + y$ , vagyis $1 \leq x \leq 9$ és $0 \leq y \leq 9$ . A feladat nem mondja ki, hogy a jegyek különbségében melyik jegy a kisebbítendő, így két lehetőségre kell gondolnunk:
a) vagy $10 x + y = (x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}$ ,
b) vagy $10 x + y = (x + y) (y - x) = y^{2} - x^{2}$ .
Az a) eset mégsem lehetséges, mert $y^{2} + y = y (y + 1) = x^{2} - 10 x = x (x - 10)$ -re vezet, ahol a bal oldal nem negatív, a jobb oldal pedig negatív. Eszerint $y > x$ , tehát $y \geq 2$ .
A b) esetből hasonló rendezéssel

\begin{matrix} x (x + 10) = y (y - 1), \end{matrix}

(1)

és itt a jobb oldal páros, mint két szomszédos egész szám szorzata, eszerint a bal oldal mindkét tényezője páros, mert

x

és

x + 10

együtt párosak vagy páratlanok; tehát a bal oldal

2^{2} = 4

-gyel is osztható. Sőt

2^{3} = 8

-cal is, mert vagy

x

osztható

4

-gyel, vagy

x + 10

. A jobb oldal viszont csak úgy osztható

8

-cal, ha vagy

y = 8

, vagy

y - 1 = 8

.
(1)-ből

x

-re csak

y = 8

-cal kapunk pozitív egész gyököt:

x = 4

, eszerint a keresett szám

48

. ‐ Valóban,

48 = (4 + 8) (8 - 4)

Fekete Rozália (Celldömölk, Berzsenyi D. g. II. o. t.)

II. megoldás: Az a) eset nem lehetséges, mert

10 x + y \geq 10 x > x^{2} \geq x^{2} - y^{2}

. A b) alatti egyenlőséget írjuk így:

\begin{matrix} 11 x = (x + y) (y - x) + x - y = (x + y - 1) (y - x) . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} x = \frac{(x + y - 1) (y - x)}{11}, \end{matrix}

(2)

egész szám, és mivel

1 \leq y - x \leq 8

, és e határok között minden egész szám relatív prím

11

-hez, azért

x + y - 1

osztható

11

-gyel. Minthogy

y \leq 9

x < y

, azaz

x \leq 8

, azért

x + y - 1 \leq 16

, másrészt

x \geq 1

y \geq 2

folytán

x + y - 1 \geq 3

, ennélfogva

x + y - 1

egyetlen lehetséges értéke

11

. Most már

x + y = 12

és (2)-ből

x = y - x

y = 2 x

, így

x = 4

y = 8

, tehát a keresett szám

48

Bollobás Béla (Bp. V., Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t)