Kezdőlap


Feladat:	527. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bácsy Zsolt , Török Éva
Füzet:	1959/szeptember, 21 - 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Paralelogrammák, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/november: 527. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elegendő pl. az $A B$ oldalon létrejött pontokra megmutatni, hogy $A_{2 b} B_{2 a} = B_{3 c} A_{3 c}$ .

A szerkesztés folytán az

A_{1} A_{2 b} A A_{2 c}

és

A_{1} A_{2 c} A_{3 c} B

, valamint

B_{1} B_{2 a} B B_{2 c}

és

B_{1} B_{2 c} B_{3 c} A

négyszögek paralelogrammák, ezért

A A_{2 b} = A_{2 c} A_{1} = A_{3 c} B

, valamint

A B_{3 c} = B_{1} B_{2 c} = B_{2 a} B

. Ez a 3‐3 szakasz irány szempontjából is megegyezik, ezért

A_{2 b}

és

A_{3 c}

, valamint

B_{3 c}

és

B_{2 a}

A B

oldal

C_{0}

felezőpontjára tükrös pontpárok. Így az utóbbi egyenlőségből

A B_{2 a} = B_{3 c} B

, majd ennek alapján

\begin{matrix} A_{2 b} B_{2 a} = A B_{2 a} - A A_{2 b} = B_{3 c} B - A_{3 c} B = B_{3 c} A_{3 c}, \end{matrix}

amit bizonyítani akartunk.
A bizonyításban nem használtuk ki, hogy

A_{1}

és

B_{1}

a szögfelezők metszéspontjaként jöttek létre, ennélfogva a feladat állítása akkor is igaz, ha

A_{1}

B_{1}

C_{1}

B C

C A

A B

oldal tetszés szerinti pontjai.

Török Éva (Debrecen, Kossuth L. gyak g. II. o.t.)

Megjegyzés. Az állítás számítással is bizonyítható, ugyanis pl.

B A_{1} = x

jelöléssel, a párhuzamosok révén előállott hasonló háromszögekből

B A_{2 b} = c x / a

A A_{2 c} = b x / a

A A_{3 c} = c x / a

. Ha

A_{1}

a szögfelezőn van, akkor

x = c a / (b + c)

Bácsy Zsolt (Bp. V., Eötvös J. g. II. o. t.)