Kezdőlap


Feladat:	526. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szőkefalvi-Nagy Zoltán , Zalán Péter , Zaránd Rudolf
Füzet:	1959/szeptember, 20 - 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Magasságvonal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/november: 526. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A szokásos jelöléseket használva szerkesszük meg pl. a $B$ , $C$ csúcsnak a $C A,$ ill. $A B$ oldalra való $B_{1}$ , ill. $C_{1}$ tükörképét. Így $B B_{1}$ és $C C_{1}$ továbbá $M$ metszéspontjuknak, a magasságpontnak $A$ -val való összekötése megadja a magasságvonalakat. $B_{1}$ céljára $2$ körívet rajzolunk: $C$ körül $a$ és $A$ körül $c$ sugárral; $C_{1}$ -hez hasonlóan: $A$ körül $b$ és $B$ körül $a$ sugárral, végül a fenti $3$ egyenessel a lépések száma $7$ .
Ha tudjuk, hogy a háromszög, pl. a $C$ csúcsnál, derékszögű, akkor csak a $C C_{1}$ magasságra van szükség, ezt $2$ körívvel és $1$ egyenessel, vagyis $3$ lépésben kaphatjuk meg. (Egyébként $M$ és $C$ azonossága mutatná, hogy $A C B ∢ = 90^{\circ} .$ ) ‐ Ha pedig azt tudjuk, hogy a háromszög egyenlő szárú, pl. $A C = B C$ , akkor $C$ körül $1$ körívet megtakarítva $6$ lépésben jutunk célhoz. ‐ A három oldal egyenlősége nem nyújt további megtakarítási lehetőséget.

Zalán Péter (Aszód, Petőfi S. g. I. o. t.)

II. megoldás: A

B C

oldal, mint átmérő fölötti Thales-kör a másik két oldalból (esetleg meghosszabbításából) kimetszi a

B B'

és

C C'

magasságok

B'

C'

talppontját. Ezekből ugyanúgy haladhatunk tovább, mint előbb

B_{1}

C_{1}

-ből, és a lépések száma is ugyanannyi. Ugyanis a Thales-kör előkészítése

2

egyenlő sugarú körív (

B

és

C

körül) és a felező merőleges megrajzolását igényli, és megrajzolása a

4

-ik lépés. Itt

3

körívet és

4

egyenest rajzolunk.
Ha a háromszög az

A

csúcsnál tompaszögű, akkor az

A B

A C

oldalak meghosszabbítása

2

-vel növeli a lépések számát. Ha azonban a Thales-kört nem a legnagyobb oldal fölé rajzoljuk, akkor csak

1

hosszabbítás szükséges.

Zaránd Rudolf (Bp. VIII., Piarista g. I. o. t.)

Megjegyzések. 1. A II. megoldásban

1

lépést megtakaríthatunk a vonalzó és a körző egyidejű használatával, ‐ amit a feladat fogalmazása nem említ ugyan, de nem is zár ki. Elegendő ugyanis

B C

felező merőlegesét a vonalzóval csupán beállítani, és a körző csúcsát

B C

-nek így átmenetileg láthatóvá lett felezőpontjába szúrva

3

-ik látható lépésként mindjárt a Thales-kört megrajzolni.

Szőkefalvi-Nagy Zoltán (Szeged, Radnóti M. g. I. o. t.)

2. Ezt a gondolatot folytatva előbb két körzőnek, majd egyiküknek és a vonalzónak egyidejű használatával az I. megoldásnak mind a

4

körívét megtakaríthatjuk:

c

, ill.

a

nyílásra kinyitott körzőink (esetleg kéthegyű, ,,szúrós'' körzők) egy-egy csúcsát

A

, ill.

C

-be szúrjuk, majd ,,szabad'' csúcsaikat összeillesztve a papírra levisszük

B_{1}

-be. Ezután egyik körzőt vonalzóra cserélve beállítjuk és megrajzoljuk

B B_{1}

-et, s i. t. Ez az eljárás azonban semmi esetre sem tekinthető euklidesi szerkesztésnek, mert az említett összeillesztés csak próbálgatással lehetséges (az

A

, ill.

C

körül

c

, ill.

a

sugárral írható gömb metszési körén.) Hasonló ez a papírcsíkkal való szögharmadolás geometriai kísérletéhez:

3

dologra kell figyelnünk: a két körzőcsúcsra és a papírra.
3. Elfogadtuk a

7

-nél több lépéses megoldásokat is.