Kezdőlap


Feladat:	525. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Korenchy Emőke
Füzet:	1959/szeptember, 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/november: 525. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen egy a kívánt tulajdonsággal bíró háromszög $A B C$ , és legyen ennek területét és kerületét egyaránt felező, az $A B$ oldallal párhuzamos $P Q$ egyenesnek a $C A$ , $C B$ oldallal közös pontja $P$ , ill. $Q$ . (A kerület felezése a keletkezett $P Q C$ háromszög és $P Q B A$ trapéz kerületének egyenlőségéből közös $P Q$ oldaluk elhagyása útján adódik.)

P Q C

háromszög hasonló

A B C

-hez és fele akkora területű. Megfelelő oldalaik arányát

λ

-val jelölve viszont a két terület aránya

λ^{2}

, tehát

λ^{2} = 1 / 2

, és

λ = 1 / \sqrt[]{2}

. Így az eredeti kerület megfelezéséből:

P C + C Q = P A + A B + B Q

, ill. a szokásos jelölésekkel:

λ b + λ a = (1 - λ) b + c + (1 - λ) a

, tehát a keresett összefüggés:

\begin{matrix} c = (2 λ - 1) (a + b) = (\sqrt[]{2} - 1) (a + b) . \end{matrix}

(1)

Korenchy Emőke (Bp. VIII., Ságvári E. gyak. lg. II. o. t.)

Megjegyzés. A kapott összefüggés ‐ egy egyenlőség a három oldal között ‐ a háromszög alakját nem határozza meg egyértelműen. Kézenfekvő tehát ez a kérdés: van-e olyan háromszög, amely két, vagy mindhárom oldalával párhuzamosan is így osztható részekre?
Követeljük meg (1) mellett még pl. a

b

oldalra vonatkozó analóg

b = (\sqrt[]{2} - 1) (a + c)

egyenlőséget. Előbb

a

kiküszöbölésével

c = b

, majd evvel (1)-ből

\sqrt[]{2} b = a

, vagyis mindkét követelésünk csak az egyenlő szárú, derékszögű háromszögben teljesül, a befogókkal párhuzamos szelőkkel.
Ezzel egyrészt találtunk egy az eredeti követelményt teljesítő speciális háromszög alakot (

P Q

szerkesztése az ábrából nyilvánvaló), másrészt látjuk, hogy egy háromszög mindhárom oldalának nem lehet meg a szóban forgó tulajdonsága.
(1)-ből

a = b

választással még egy egyenlő szárú és ,,felezhető'' alak adódik, ebben a

c

alap a száraknak

(2 \sqrt[]{2} - 2)

-szöröse (az ábrán

A' Q = Q B

A' C' = C' B = A B

és

C' P' = C' Q' = C P