Feladat: 524. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bellay Ágnes ,  Bollobás Béla ,  Fritz József 
Füzet: 1959/május, 151 - 152. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Irracionális számok és tulajdonságaik, Indirekt bizonyítási mód, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1958/november: 524. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

23 irracionális szám, mert az a feltevés, hogy racionális, ellentmondásra vezet. Tegyük fel ugyanis, hogy 23 írható két egész szám hányadosaként, azaz p/q alakban, és ezt már egyszerűsítettük, vagyis p és q relatív prímek. Így p3=2q3, eszerint p3 páros, tehát p is, ‐ mert páratlan szám köbe páratlan: (2k+1)3=2(4k3+6k2+3k)+1. Írhatjuk tehát: p=2s. Így viszont p3=8s3=2q3-bőlq3=4s3, tehát q3 és q is páros. Ez valóban ellentmondás, mert így p és q-nak a 2 közös osztója. Eszerint a kívánt alakú előállításban b0, különben a+bc racionális volna.
Tegyük fel már most, hogy van ilyen előállítás:

23=a+bc.
Ebből köbre emeléssel, kiemeléssel, bc=23-a helyettesítéssel és rendezéssel
2=a3+3ab2c+(3a2+b2c)bc=a3+3a2bc+(3a2+b2c)(23-a),2(1+a3-ab2c)=(3a2+b2c)23.


Itt 23 szorzója feltevéseinknél fogva pozitív, nem 0, tehát
23=2(1+a3-ab2c)3a2+b2c
ami ismét ellentmondás, mert a jobb oldalon racionális számok racionális kifejezése áll, ami racionális szám, a bal oldal pedig irracionális.
Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.
 

Bellay Ágnes (Bp. VIII., Fazekas M. lg. I. o. t.)
 

Megjegyzés: Feladatunk visszavezethető szakaszok szerkeszthetőségének vizsgálatára. Ismeretes, hogy egy szakasz alapadatokból (szakaszokból, egyenes vonalú síkidomok területéből) körző és vonalzó használatával akkor és csak akkor szerkeszthető, ha mértékszáma az adatok mértékszámából a négy alapművelet és a négyzetgyökvonás véges számú alkalmazásával kiszámítható. Így a, b, c és a a+bc az egységszakaszból szerkeszthetők. ‐ Másrészt 23 nem szerkeszthető meg, a ,,déloszi probléma''‐ adott kockához egy kétszer akkora térfogatú kocka élének (körzővel és vonalzóval való) megszerkesztése ‐ megoldhatatlan.1
 

Bollobás Béla (Bp. V., Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.)

 

Fritz József (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. II. o. t.)

1Mindezeket lásd pl. Surányi János: A szögharmadolás kérdéséről, KML. XIV. 97-107. és 129-134. o. (1957. április-május).