Kezdőlap


Feladat:	522. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bornes Klára , Faludi Irén
Füzet:	1959/május, 150 - 151. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Maradékos osztás, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/november: 522. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A keresett $x$ szám négyjegyű, ezért

\begin{matrix} 1000 \leq x \leq 9999. \end{matrix}

(1)

Másrészt az egymáshoz relatív prím

7

és

29

számokkal osztható, ezért

7 \cdot 29 = 203

-nak is többszöröse:

x = 203 y

, ahol

y

természetes szám, így

\begin{matrix} 1000 \leq 203 y \leq 9999, amiből 5 \leq y \leq 49. \end{matrix}

(2)

Végül

19 x - 3

osztható

37

-tel, tehát

\begin{matrix} 19 x - 3 = 19 \cdot 203 y - 3 = 37 z, \end{matrix}

ahol

z

természetes szám. Határozzuk meg előbb

z

-t:

\begin{matrix} z = \frac{3857 y - 3}{37} = 104 y + \frac{9 y - 3}{37} = 104 y + u, \end{matrix}

ahol

u = (9 y - 3) / 37

természetes szám. Ebből:

\begin{matrix} y = \frac{37 u + 3}{9} = 4 u + \frac{u + 3}{9} = 4 u + v, \end{matrix}

ahol

v = (u + 3) / 9

természetes szám, végül innen

u = 9 v - 3

.
Így

y = 4 (9 v - 3) + v = 37 v - 12, x = 203 y = 7511 v - 2436

. Ezt (1)be beírva, majd rendezve

\begin{matrix} 1000 \leq 7511 v - 2436 \leq 9999, 3436 \leq 7511 v = 12435. \end{matrix}

Ennek csak

v = 1

tesz eleget, és avval

x = 7511 - 2436 = 5075

. ‐ Valóban,

5075 = 7 \cdot 725 = 29

és

19 \cdot 5075 = 96 425 = 37 \cdot 2606 + 3

Faludi Irén (Bp. VIII., Ságvári E. gyak. Ig. I1. o. t.)

Megjegyzés: Valamivel hamarabb jutunk célhoz így:

u = (9 y - 3) / 37 = 3 (3 y - 1) / 37

csak úgy egész, ha

3 y - 1 = 37 w

, ennélfogva

y

-nak (2) szerinti legkisebb és legnagyobb szóba jövő értékével

3 \cdot 5 - 1 = 14 \leq 37 w \leq 146 = 3 \cdot 49 - 1

, azaz

1 \leq w \leq 3

. Másrészt

y = 12 w + (w + 1) / 3

w

-nek ezen értékei közül csak

w = 2

-vel egész:

y = 25

x = 203 \cdot 25 = 5075

Bornes Klára (Bp. XIV., Teleki Blanka lg. II. o. t.)