Kezdőlap


Feladat:	518. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Haris László , Szalay Ferenc
Füzet:	1959/május, 146 - 147. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengelyes tükrözés, Szögfelező egyenes, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/október: 518. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Indítsuk a golyót az $A B C$ derékszögű háromszög $(A C B ∢ = 90^{\circ})$ $A$ -nál levő hegyesszögének csúcsából, és jelöljük útjának egymás utáni visszaverődési pontjait $A_{1}$ , $C_{1}$ , $B_{1}$ -gyel.

1. ábra

A_{1}

nyilván a

B C

van;

C_{1}

A B

oldalon, mert az

A A_{1} C

derékszögű háromszögben

C A_{1} A

hegyesszög, így a visszaverődés törvénye folytán

B A_{1} C_{1}

is hegyesszög, és ezért

C A_{1} C_{1}

tompa szög. Végül

B_{1}

a harmadik oldalnak, tehát

A C

-nek pontja. Az útvonal

B_{1}

-beli visszafordulása folytán

C_{1} B_{1}

merőleges

A C

-re, tehát az

A B_{1} C_{1}

háromszög derékszögű.

A_{1} A C ∢ = δ

jelöléssel

C A B ∢ = 2 δ

A B C ∢ = 90^{\circ} 2 δ

, továbbá

C A_{1} A ∢ = B A_{1} C_{1} ∢ = 90^{\circ} - δ

. Így az

A_{1} B C_{1}

háromszögben

B C_{1} A_{1} ∢ = 180^{\circ} - (90^{\circ} - δ) - (90^{\circ} - 2 δ) = 3 δ

, és ugyanekkora az

A C_{1} B_{1}

szög is. Az

A B_{1} C_{1}

háromszög

A

-nál és

C_{1}

-nél levő szögei pótszögek:

2 δ + 3 δ = 90^{\circ}

, és ebből

δ = 18^{\circ}

. Az asztal hegyesszögei:

36^{\circ}

és

54^{\circ}

Szalay Ferenc (Tatabánya, Árpád g. I. o. t.)

II. megoldás: Miután láttuk, hogy az első két visszaverődés a

B C

, ill.

A B

oldalon történik, tükrözzük az

A B C

háromszöget a

B C

oldalra, majd a kapott

A' B C

háromszöget

A' B

-re.

2. ábra

Így az

A A_{1} C_{1} B_{1}

útvonal

A A_{1}

szakasza, valamint

A_{1} C_{1}

-nek

A_{1} C'_{1}

és

C_{1} B_{1}

-nek

C'_{1} B''_{1}

képe egy egyenesbe esik, és ez merőlegesen áll

A' C''

-re. Az

A A' B''_{1}

derékszögű háromszögben

A A' B''_{1} ∢ = 2 C A' B ∢ = 2 C A B ∢ = 4 δ

, ez pótszöge

C A A_{1}

szögnek, ebből

δ + 4 δ = 90^{\circ}

és

δ = 18^{\circ}

Haris László (Bp., VIII. Vörösmarty M. g. II. o. t.)