Kezdőlap


Feladat:	515. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Biborka T. , Bollobás B. , Felszeghy T. , Gallyas Györgyi , Gillemot L. , Glattfelder P. , Kéry Gerzson , Máté A. , Máté E. , Nagy Márton , Náray-Szabó G. , Piroska Z. , Pollai Marion , Reischl Erika , Schönweitz T.
Füzet:	1959/április, 108 - 111. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Műveletek polinomokkal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/október: 515. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Hogy a kifejezésnek értelme legyen, már első látásra fel kell tennünk, hogy az $a$ , $b$ , $c$ számok közül kettő-kettőnek sem az összege, sem a különbsége nem $0$ , más szóval $a$ , $b$ , $c$ abszolút értékben különböző számok. Jelöljük $K$ egymás utáni tagjait $K_{1}$ , $K_{2}$ , $K_{3}$ -mal. $K_{2}$ és $K_{3}$ az előttük álló tagból úgy is előállíthatók, hogy $a$ , $b$ , $c$ helyére rendre $b$ , $c$ , $a$ -t írunk, ezért egyelőre elég $K_{1}$ -et egyszerűsítenünk. $K_{1}$ számlálója, ill. nevezője a törtek összevonásával

\begin{matrix} \frac{(b + c) (c + a) - 2 (a + b) (c + a) + (a + b) + (b + c)}{(a + b) (b + c) (c + a)} = \frac{b^{2} + c^{2} - 2 a^{2}}{(a + b) (b + c) (c + a)}, \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{(b + c) (c - a) - 2 (b - a) (c - a) + (b - a) (b + c)}{(b - a) (b + c) (c - a)} = \frac{b^{2} + c^{2} - 2 a^{2}}{(b - a) (b + c) (c - a)} . \end{matrix}

Hogy az utóbbi, valamint

K_{2}

és

K_{3}

-nak a fentiek szerint ebből előállítható nevezői is

0

-tól különbözők legyenek, fel kell tennünk, hogy

\begin{matrix} b^{2} + c^{2} - 2 a^{2} \neq 0, c^{2} + a^{2} - 2 b^{2} \neq 0, a^{2} + b^{2} - 2 c^{2} \neq 0. \end{matrix}

(1)

Így

b^{2} + c^{2} - 2 a^{2}

-nel egyszerűsítve

\begin{matrix} K_{1} = \frac{(b - a) (b + c) (c - a)}{(a + b) (b + c) (c + a)} . \end{matrix}

b + c

tényezővel egyszerűsíteni csak látszateredmény volna, mert a további közös nevezőben ez a tényező is fellép.) Most már a fent említett szabályszerűség felhasználásával

\begin{matrix} K = \frac{(b - a) (b + c) (c - a)}{(a + c) (b + c) (c + a)} + \frac{(c - b) (c + a) (a - b)}{(b + c) (c + a) (a + b)} + \frac{(a - c) (a + b) (b - c)}{(c + a) (a + b) (b + c)} . \end{matrix}

A nevezők csak a tényezők sorrendjében különböznek, tehát egyenlők, ezért egyelőre elég képeznünk a számlálók összegét. A várható összevonási lehetőségekre tekintettel jónak látszik beszorozni; ennek során mindegyik számláló három kéttagújának szorzata

2^{3} = 8

tagot ad. Az első számláló így írható:

\begin{matrix} S_{1} = a^{2} b + a^{2} c + b^{2} c + b c^{2} - a b^{2} - a c^{2} - 2 a b c, \end{matrix}

ennek alapján

\begin{matrix} S_{2} = b^{2} c + b^{2} a + c^{2} a + c a^{2} - b c^{2} - b a^{2} - 2 a b c, \end{matrix}

\begin{matrix} S_{3} = c^{2} a + c^{2} b + a^{2} b + a b^{2} - c a^{2} - c b^{2} - 2 a b c, \end{matrix}

és összegük

\begin{matrix} S = a^{2} b + a^{2} c + b^{2} c + b^{2} a + c^{2} a + c^{2} b - 6 a b c . \end{matrix}

A tagok felírása nélkül is látható, hogy a közös nevezőbeli beszorzásnál a

- 6 a b c

tagtól eltekintve

S

-nek valamennyi tagja előáll. Pl.

a^{2} b

úgy, hogy

(a + b) (b + c) (c + a)

gondolatban való képezésénél az egymás utáni zárójelekből az első, első, második tagot szorozzuk össze. Két zárójelnek első és egynek második tagját összeszorozva mindig

x^{2} y

,,típusú'' tagot kapunk, és akkor is, ha kettőből a másodikat és egyből az elsőt vesszük ki, és ez a

6

tag egymástól különböző, akárcsak

S

-nek első

6

tagja. A nevező hátralevő szorzatai

2 a b c

-t adnak ‐ a

3

első és a

3

második tag szorzata ‐, eszerint az

S

összeg ‐

8 a b c

-vel tér el a nevezőtől, ennyivel ,,kisebb'' nála:

\begin{matrix} S = (a + b) (b + c) (c + a) - 8 a b c, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} K = 1 - \frac{8 a b c}{(a + b) (b + c) (c + a)} . \end{matrix}

(2)

a = 5

b = 7

c = 9

számok abszolút értékben különbözök; az (l) kifejezések közül nyilván elég

a^{2} + c^{2} - 2 b^{2}

értékét kiszámítani, amelyben a nagyságra nézve középső

7

adja a kivonandót, de ez sem

0

, tehát

K

-nak van értelme. (2)-ből

K = 1 / 16 = 0, 0625

, ennek kiszámítása céljára

3

összeadást,

2 + 3 = 5

szorzást,

1

osztást és

1

kivonást végeztünk, összesen

10

műveletet.

K

-nak az eredeti alakból való számítása során

a

b

c

-ből elsősorban

3

összeget és

3

különbséget képeznénk, ezekből

6

reciprok értéket, majd az összegek reciprok értékének megkétszerezését; ez eddig

15

művelet. Az így előkészített ,,elemekből'' mind a

6

,,nagy'' számláló és nevező összeállítása

2 - 2

összevonást igényelne, ezt

3

osztás követné és a számítást

2

összeadás zárná be. Mindez együttvéve

15 + 12 + 3 + 2 = 32

művelet.

a = 5

b = 7

c = 1

adathármas mellett a ,,gyanús''

b^{2} + c^{2} - 2 a^{2}

érték

0

-nak bizonyul,

K

-nak nincs értelme.
Az algebrai átalakítások előnye az első példában abban mutatkozott meg itt, hogy

K

értékét az egyszerűbb alakból jóval kevesebb művelettel számíthattuk, a második példában pedig abban, hogy jelentős mennyiségű hiábavaló számítást takarítottunk meg. Természetesen előnyt nyújtott

K

szimmetrikus voltának felismerése, valamint az is, hogy

K

csak

3

számból volt felépítve. Bár az átalakítással jelentős munkát végeztünk, ez a kapott egyszerű alaknak esetleg sokszori alkalmazása során megtérül.

Pollai Marion (Bp. V., Veres Pálné lg. II. o. t.)

Megjegyzések. 1. A kifejezés így is írható

\begin{matrix} K = \frac{a {(b - c)}^{2} + b {(c - a)}^{2} + c {(a - b)}^{2}}{(a + b) (b + c) (c + a)}, \end{matrix}

ebből az alakból

17

művelettel kapjuk

K

értékét.

Kéry Gerzson (Sopron, Széchenyi I. g. I. o. t.)

2. Sok dolgozat

53

műveletet mutat ki az eredeti alakból való számításban, nem véve figyelembe a többször előforduló kifejezéseket.
3. Számos dolgozatot a

0 / 0 = 0

állítás miatt nem fogadhattunk el. Ennek helytelenségére már az is figyelmeztethetett volna, hogy

K

átalakított formájának a második értékhármasra is van értelme, és a

0

-tól különböző

37 / 72

értéket adja.