Feladat: 515. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Biborka T. ,  Bollobás B. ,  Felszeghy T. ,  Gallyas Györgyi ,  Gillemot L. ,  Glattfelder P. ,  Kéry Gerzson ,  Máté A. ,  Máté E. ,  Nagy Márton ,  Náray-Szabó G. ,  Piroska Z. ,  Pollai Marion ,  Reischl Erika ,  Schönweitz T. 
Füzet: 1959/április, 108 - 111. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Műveletek polinomokkal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1958/október: 515. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Hogy a kifejezésnek értelme legyen, már első látásra fel kell tennünk, hogy az a, b, c számok közül kettő-kettőnek sem az összege, sem a különbsége nem 0, más szóval a, b, c abszolút értékben különböző számok. Jelöljük K egymás utáni tagjait K1, K2, K3-mal. K2 és K3 az előttük álló tagból úgy is előállíthatók, hogy a, b, c helyére rendre b, c, a-t írunk, ezért egyelőre elég K1-et egyszerűsítenünk. K1 számlálója, ill. nevezője a törtek összevonásával

(b+c)(c+a)-2(a+b)(c+a)+(a+b)+(b+c)(a+b)(b+c)(c+a)=b2+c2-2a2(a+b)(b+c)(c+a),
(b+c)(c-a)-2(b-a)(c-a)+(b-a)(b+c)(b-a)(b+c)(c-a)=b2+c2-2a2(b-a)(b+c)(c-a).

Hogy az utóbbi, valamint K2 és K3-nak a fentiek szerint ebből előállítható nevezői is 0-tól különbözők legyenek, fel kell tennünk, hogy
b2+c2-2a20,c2+a2-2b20,a2+b2-2c20.(1)
Így b2+c2-2a2-nel egyszerűsítve
K1=(b-a)(b+c)(c-a)(a+b)(b+c)(c+a).
(A b+c tényezővel egyszerűsíteni csak látszateredmény volna, mert a további közös nevezőben ez a tényező is fellép.) Most már a fent említett szabályszerűség felhasználásával
K=(b-a)(b+c)(c-a)(a+c)(b+c)(c+a)+(c-b)(c+a)(a-b)(b+c)(c+a)(a+b)+(a-c)(a+b)(b-c)(c+a)(a+b)(b+c).
A nevezők csak a tényezők sorrendjében különböznek, tehát egyenlők, ezért egyelőre elég képeznünk a számlálók összegét. A várható összevonási lehetőségekre tekintettel jónak látszik beszorozni; ennek során mindegyik számláló három kéttagújának szorzata 23=8 tagot ad. Az első számláló így írható:
S1=a2b+a2c+b2c+bc2-ab2-ac2-2abc,


ennek alapján
S2=b2c+b2a+c2a+ca2-bc2-ba2-2abc,

S3=c2a+c2b+a2b+ab2-ca2-cb2-2abc,


és összegük
S=a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b-6abc.

A tagok felírása nélkül is látható, hogy a közös nevezőbeli beszorzásnál a -6abc tagtól eltekintve S-nek valamennyi tagja előáll. Pl. a2b úgy, hogy (a+b)(b+c)(c+a) gondolatban való képezésénél az egymás utáni zárójelekből az első, első, második tagot szorozzuk össze. Két zárójelnek első és egynek második tagját összeszorozva mindig x2y ,,típusú'' tagot kapunk, és akkor is, ha kettőből a másodikat és egyből az elsőt vesszük ki, és ez a 6 tag egymástól különböző, akárcsak S-nek első 6 tagja. A nevező hátralevő szorzatai 2abc-t adnak ‐ a 3 első és a 3 második tag szorzata ‐, eszerint az S összeg ‐ 8abc-vel tér el a nevezőtől, ennyivel ,,kisebb'' nála:
S=(a+b)(b+c)(c+a)-8abc,
és így
K=1-8abc(a+b)(b+c)(c+a).(2)

Az a=5, b=7, c=9 számok abszolút értékben különbözök; az (l) kifejezések közül nyilván elég a2+c2-2b2 értékét kiszámítani, amelyben a nagyságra nézve középső 7 adja a kivonandót, de ez sem 0, tehát K-nak van értelme. (2)-ből K=1/16=0,0625, ennek kiszámítása céljára 3 összeadást, 2+3=5 szorzást, 1 osztást és 1 kivonást végeztünk, összesen 10 műveletet.
K-nak az eredeti alakból való számítása során a, b, c-ből elsősorban 3 összeget és 3 különbséget képeznénk, ezekből 6 reciprok értéket, majd az összegek reciprok értékének megkétszerezését; ez eddig 15 művelet. Az így előkészített ,,elemekből'' mind a 6 ,,nagy'' számláló és nevező összeállítása 2-2 összevonást igényelne, ezt 3 osztás követné és a számítást 2 összeadás zárná be. Mindez együttvéve 15+12+3+2=32 művelet.
 

Az a=5, b=7, c=1 adathármas mellett a ,,gyanús'' b2+c2-2a2 érték 0-nak bizonyul, K-nak nincs értelme.
Az algebrai átalakítások előnye az első példában abban mutatkozott meg itt, hogy K értékét az egyszerűbb alakból jóval kevesebb művelettel számíthattuk, a második példában pedig abban, hogy jelentős mennyiségű hiábavaló számítást takarítottunk meg. Természetesen előnyt nyújtott K szimmetrikus voltának felismerése, valamint az is, hogy K csak 3 számból volt felépítve. Bár az átalakítással jelentős munkát végeztünk, ez a kapott egyszerű alaknak esetleg sokszori alkalmazása során megtérül.
 

Pollai Marion (Bp. V., Veres Pálné lg. II. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. A kifejezés így is írható
K=a(b-c)2+b(c-a)2+c(a-b)2(a+b)(b+c)(c+a),
ebből az alakból 17 művelettel kapjuk K értékét.
 

Kéry Gerzson (Sopron, Széchenyi I. g. I. o. t.)
 

2. Sok dolgozat 53 műveletet mutat ki az eredeti alakból való számításban, nem véve figyelembe a többször előforduló kifejezéseket.
3. Számos dolgozatot a 0/0=0 állítás miatt nem fogadhattunk el. Ennek helytelenségére már az is figyelmeztethetett volna, hogy K átalakított formájának a második értékhármasra is van értelme, és a 0-tól különböző 37/72 értéket adja.