Feladat: 514. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bach Katalin ,  Balázs Gy. ,  Bellay Ágnes ,  Biborka T. ,  Bollobás B. ,  Diénes Ö. ,  Dömötör Gy. ,  Felszeghy T. ,  Fritz J. ,  Gagyi Pálffy A. ,  Gálfi l. ,  Gáll E. ,  Gáti P. ,  Horváth D. ,  Jójárt I. ,  Katona Éva ,  Katona Mária ,  Kazsimérszky F. ,  Kéki Zsuzsanna ,  Kéry G. ,  Kopcsányi Zsuzsa ,  Máté E. ,  Miklós Erzsébet ,  Molnár E. ,  Nagy Dénes Lajos ,  Nagy Dezső ,  Németh F. ,  Palka I. ,  Pinkert A. ,  Rády Erika ,  Rátkai J. ,  Salamin P. ,  Sasi Éva ,  Simai L. ,  Szalay G. ,  Székely J. ,  Szidarovszky Ágnes 
Füzet: 1959/április, 107 - 108. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatósági feladatok, Természetes számok, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1958/október: 514. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kétjegyű számok négyzetei három- vagy négyjegyűek. Legyen a két négyzetszám X2 és Y2; feltehetjük, hogy X és Y pozitívok és X>Y. A követelés szerint a négyzetszámok különbségében az 1-es, tízes és ezres helyeken 0 áll, tehát

X2-Y2=(X-Y)(X-Y)=100t=22⋅52t,(1)
ahol t egész szám és 1≦t≦91
Mivel X-Y<X+Y, így (1)-ből
(X-Y)2<(X-Y)(X+Y)=100t,X-Y<10t≦30.(2)

X-Y és X+Y közül legalább az egyik páros; de akkor a másik is, mert két egész szám összege és különbsége egyenlő párosságú. Hogy (1) bal oldala 5-nek legalább 2-ik hatványával osztható legyen, erre két lehetőséget kell figyelembe vennünk: α) X-Y és X+Y mindegyike osztható 5-tel, β) X+Y osztható 25-tel. Nem lehet ugyanis, hogy X-Y legyen osztható 25-tel, mert akkor X-Y=50j volna, de ez (2) miatt teljesíthetetlen.
 

α) X+Y és X-Y osztható 5-tel és páros is, ezért

1111 X+Y=10k,X-Y=10l,
 


ahol k és l pozitív egész, k>l és (2) szerint l≦2. Írjuk még k-t l+m alakban, ekkor X=5(k+l)=10l+5m, Y=5(k-l)=5m, X2=100l(l+m)+25m2, Y2=25m2. Így m≧2 (mert Y kétjegyű), továbbá l(l+m)<10, sőt 100l(l+m) és 25m2 százasai együtt sem érhetik el az 1000-et. Eszerint m=5, 6, 7, 8-ra l(l+m)-nek rendre kisebbnek kellene lennie, mint 4, 1, -2, -6, ez azonban nem lehetséges, így m≦4.
A fennmaradt m-értékek mellett lehetséges l-értékekkel a következő megoldások adódnak:
m1234l1211X20302530Y10101520X2400900625900Y2100100225400

β) X+Y osztható 25-tel, X+Y=50k, X-Y=2l, ahol X+Y≦99+98≦200 folytán k lehetséges értékei 1, 2, 3. Ekkor
X=25k+l,Y=25k-l,
kl=t≦9, vagyis X és Y a számegyenesen a 25, 50, 75 számokra szimmetrikus helyzetű számok, elegendő az l eltérést meghatároznunk.
k=1 esetén l legfeljebb 9 lehet, az ezres jegyek egyezésének követelménye folytán azonban csak az l≦6 számok adnak megoldást:
X2=676,729,784,841,900,961,Y2=576,529,484,441,400,361.
(A táblázat utolsó megoldását újra megkaptuk, mert abban t=5 folytán X2-Y2 az 53-nek is többszöröse.)
k=2-vel l legfeljebb 4 lehet, mind a négy számpár megfelel, k=3-mal pedig l≦3, de l=3 már nem megfelelő:
X2=2601,2704,2809,2916,5776,5929,Y2=2401,2304,2209,2116,5476,5329.
Mindezek szerint 15 megfelelő négyzetszám-pár van, a 100, 400 és 900 négyzetszámok mindegyike két párban szerepel.
 

Katona Mária (Bp. I., Szilágyi E. gyak. lg. I. o. t.)
1Ezzel X2 és Y2 jegyei közül csak a tízesek és 1-esek megegyezését használtuk ki, ugyanis (1) csak szükséges, de nem elegendő feltétele követelményünk teljesülésének. Az ezresek egyezésének követelményét később is csak az (1)-et kielégítő, de a feladatnak nem megfelelő esetek kiküszöbölésére fogjuk felhasználni.