Kezdőlap


Feladat:	512. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dienes Ödön , Horváth Dénes
Füzet:	1959/április, 105 - 106. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/október: 512. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A két fiú ugyanannyi időt töltött mind az egymással, mind a rokoni házban való beszélgetéssel, így az egyidejű indulás folytán mind az első találkozásig, mind a két találkozás között megtett útjukat ugyanannyi idő alatt tették meg, legyenek ezek az idők $t_{1}$ , ill. $t_{2}$ . Adataink csak arra elegendők, hogy a mozgásokat a szóba került időpontok között egyenletesnek feltéve felelhessünk a kérdésre. Legyen tehát a ,,kis Péter'' és a ,,kis Károly'' sebessége az első találkozásig $v_{1}$ , ill. $v_{2}$ , a két találkozás között pedig $v_{1}'$ és $v_{2}'$ , továbbá a lakások távolsága $x$ . ‐ Így Péternek az első találkozás előtt megtett $720$ és Károlynak $x - 720$ méteres útjából a mozgással töltött idő kétféleképpen fejezhető ki:

\begin{matrix} t_{1} = \frac{720}{v_{1}} = \frac{x - 720}{v_{2}} . \end{matrix}

(1)

P

a két találkozás között

(x - 720) + 400 = x - 320

méter utat tett meg,

K

pedig

720 + (x - 400) = x + 320

métert, az eközben eltelt idő:

\begin{matrix} t_{2} = \frac{x - 320}{v'_{1}} = \frac{x + 320}{v'_{2}} . \end{matrix}

(2)

(1) és (2) öt ismeretlent tartalmaz, emiatt csak újabb feltevéssel haladhatunk tovább. Ez lehet az, hogy a fiúk sebességeinek aránya a két időközben egyenlő. Így (1) és (2)-ből egyismeretlenes egyenletet kapunk

x

-re:

\begin{matrix} \frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{v'_{1}}{v'_{2}} = \frac{720}{x - 720} = \frac{x - 320}{x + 320} . \end{matrix}

x > 720

(különben

P

otthon találta volna

K

-t), így egyik nevező sem

0

, a szokásos eljárással

x^{2} - 1760 x = 0

-ból

x = 1760

méter (az

x = 0

gyöknek itt nincs értelme).

Horváth Dénes (Kisújszállás, Móricz Zs. g. 1I. o. t.)

Megjegyzés. A dolgozatok zöme azt tette fel, hogy a fiúk sebessége a mozgás egész folyamán állandó. Ez az itt kimondott feltevésnek speciális esete.

II. megoldás. A két fiú az első találkozásig egyszer, a másodikig háromszor, tehát a kettő között kétszer ,,taposta végig'' a lakások közti utat. Így, ha feltesszük ismét, hogy a két fiú sebességének az aránya állandó, akkor a két találkozás közt együttesen megtett útnak is annyiad részét tette meg

P

, mint az első találkozásig megtett útnak, tehát

2 \cdot 720 = 1440

métert. Másrészt az első találkozástól a rokoni házig a két ház közti utat

720 m

híján tette meg, hazafelé haladva még

400 m

-t, így összesen

320 m

híján megjárta a két ház közti egész távolságot. A két család tehát

1440 + 320 = 1760 m

távolságban lakik.

Diénes Ödön (Bp. V., Eötvös J. g. I. o. t.)