A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Ha az téglalap oldalai egyenlők, akkor a négy szögfelező egy pontban metszi egymást, a négyzetté specializálódott téglalap középpontjában, vagyis nem határolnak idomot. A továbbiakban feltesszük, hogy . Legyen az oldal végpontjainál levő , ill. szög felezőinek metszéspontja , és hasonlóan kapjuk a , , oldalak révén az , , pontokat. 1. ábra Az négyszög mindenesetre derékszögű paralelogramma, mert minden szöge derékszög, pl. -nél levő szögét a és társszögek felezői alkotják, az ilyenek pedig merőlegesek egymásra. Másrészt bármely két szomszédos oldala egyenlő, pl. , mert az , és derékszögű háromszögek , , és csúcsainál levő szögek -osak, így ezek a háromszögek egyenlő szárúak, az utóbbi kettő egybevágó is, ezért , , és így . Ezek szerint az négyszög derékszögű rombusz, vagyis négyzet.
Felszeghy Tamás (Debrecen, Kossuth L. gyak. g. I. o. t.) | Megjegyzés. Hogy az paralelogramma derékszögű, ezt csak a 3-ik bekezdésben használtuk ki. Eszerint -nak derékszögű paralelogramma volta minden nem egyenlő oldalú paralelogrammában igaz. (Egyenlő oldalúakban a négy szögfelező egy pontban fut össze.) II. megoldás: Az előző bizonyítást megmutatása helyett így is befejezhetjük: és rajta vannak a , ill. oldal közös felező merőlegesén, vagyis az átló merőleges -re. Hasonlóan merőleges -re. Így és merőlegessége folytán az négyszög merőleges állókkal bíró derékszögű paralelogramma, vagyis négyzet.
Gálfi László (Bp. VIII., Fazekas M. g. I. o. t.) | Megjegyzés. Az említett , felező merőlegesek -nek szimmetriatengelyei, és a rajtuk való tükrözés oldalegyeneseit is egymásba, -t pedig mint egészet önmagába viszi át, vagyis és az derékszögű négyszögnek nemcsak átlói, hanem szimmetriatengelyei is. Ezt a tulajdonságot csak négyzet átlói mutatják. III. Megoldás. Forgassuk el az téglalapot középpontja közül -kal -be, és jelöljük és metszéspontját -mel. 2. ábra A két téglalap szimmetriatengelyei közösek, ezért , így , az háromszög derékszögű és egyenlő szárú, vagyis az és csúcsoknál levő szögek felezői egybeesnek. Ugyanez áll a és , a és , a és szögek felezőire. Eszerint az eredeti szögfelezők olyan idomot alkotnak, amely (egy bizonyos pont körüli) -os elforgatással önmagába megy át. Ez a tulajdonsága a négyszögek közül csak a négyzetnek van meg. |