Feladat: 509. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Felszeghy Tamás ,  Gálfi László 
Füzet: 1959/április, 102 - 103. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Pont körüli forgatás, Téglalapok, Négyzetek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1958/szeptember: 509. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ha az ABCD téglalap oldalai egyenlők, akkor a négy szögfelező egy pontban metszi egymást, a négyzetté specializálódott téglalap középpontjában, vagyis nem határolnak idomot.
A továbbiakban feltesszük, hogy AB>BC. Legyen az AB oldal végpontjainál levő BAD, ill. CBA szög felezőinek metszéspontja E, és hasonlóan kapjuk a BC, CD, DA oldalak révén az F, G, H pontokat.

 
 
1. ábra
 
Az EFGH négyszög mindenesetre derékszögű paralelogramma, mert minden szöge derékszög, pl. E-nél levő szögét a BAD és CBA társszögek felezői alkotják, az ilyenek pedig merőlegesek egymásra.
Másrészt EFGH bármely két szomszédos oldala egyenlő, pl. FE=HE, mert az ABE, BCF és DAH derékszögű háromszögek A, B, C és D csúcsainál levő szögek 45∘-osak, így ezek a háromszögek egyenlő szárúak, az utóbbi kettő egybevágó is, ezért AE=BE, AH=BF, és így HE=AE-AH=BE-BF=FE. Ezek szerint az EFGH négyszög derékszögű rombusz, vagyis négyzet.
 

Felszeghy Tamás (Debrecen, Kossuth L. gyak. g. I. o. t.)
 

Megjegyzés. Hogy az ABCD paralelogramma derékszögű, ezt csak a 3-ik bekezdésben használtuk ki. Eszerint EFGH-nak derékszögű paralelogramma volta minden nem egyenlő oldalú paralelogrammában igaz. (Egyenlő oldalúakban a négy szögfelező egy pontban fut össze.)
 

II. megoldás: Az előző bizonyítást FE=HE megmutatása helyett így is befejezhetjük: F és H rajta vannak a BC, ill. DA oldal közös felező merőlegesén, vagyis az FH átló merőleges BC-re. Hasonlóan EG merőleges AB-re. Így AB és BC merőlegessége folytán az EFGH négyszög merőleges állókkal bíró derékszögű paralelogramma, vagyis négyzet.
 

Gálfi László (Bp. VIII., Fazekas M. g. I. o. t.)
 

Megjegyzés. Az említett f1, f2 felező merőlegesek ABCD-nek szimmetriatengelyei, és a rajtuk való tükrözés EFGH oldalegyeneseit is egymásba, EFGH-t pedig mint egészet önmagába viszi át, vagyis f1 és f2 az EFGH derékszögű négyszögnek nemcsak átlói, hanem szimmetriatengelyei is. Ezt a tulajdonságot csak négyzet átlói mutatják.
 

III. Megoldás. Forgassuk el az ABCD téglalapot O középpontja közül 90∘-kal A'B'C'D'-be, és jelöljük AB és A'B' metszéspontját M-mel.
 
 
2. ábra
 
A két téglalap szimmetriatengelyei közösek, ezért MA'=MB=(AB-BC)/2, így MA=MB', az AB'M háromszög derékszögű és egyenlő szárú, vagyis az A és B' csúcsoknál levő szögek felezői egybeesnek. Ugyanez áll a B és C', a C és D', a D és A' szögek felezőire. Eszerint az eredeti szögfelezők olyan idomot alkotnak, amely (egy bizonyos pont körüli) 90∘-os elforgatással önmagába megy át. Ez a tulajdonsága a négyszögek közül csak a négyzetnek van meg.