Kezdőlap


Feladat:	507. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Draskóczy Judit , Horváth Dénes , Tardos Csilla
Füzet:	1959/március, 79 - 80. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Prímtényezős felbontás, Természetes számok, Teljes indukció módszere, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/szeptember: 507. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: $1958 = 22 \cdot 89$ , itt 22 és 89 relatív primek, elegendő tehát külön‐külön a 22-vel és a 89-cel való oszthatóságot megmutatnunk.
Kifejezésünket $N = (6363^{n} - 445^{n}) - 44^{n}$ alakban írva a zárójelbeli különbség osztható $6363 - 445 = 5918 = 22 \cdot 219$ -cel, a második tag $44 = 22 \cdot 2$ -vel, így $N$ osztható 22-vel.
Más alakban $N = (6363^{n} - 44^{n}) - 445^{n}$ , itt a különbség osztható $6363 - 44 = 6319 = 71 \cdot 89$ -cel, a második tag $445 = 5 \cdot 89$ -cel, így $N$ osztható 89-cel. Evvel a bizonyítást befejeztük.

Draskóczy Judit (Bp. I., Szilágyi E. gyak. lg. I. o. t.)

II. megoldás: Vegyük észre, hogy

6363 = 3 \cdot 1958 + 445 + 44

. Így ‐ nagy betűkkel mindvégig alkalmas természetes számokat jelölve ‐

\begin{matrix} N = {[3 \cdot 1958 + (445 + 44)]}^{n} - 445^{n} - 44^{n} = \\ = 1958 A + [{(445 + 44)}^{n} - 445^{n} - 44^{n}] \end{matrix}

Az utóbbi szögletes zárójelben az első

n

-edik hatványt 445 és 44 hatványai szerint tagokra bontva minden megmaradó tagban szerepel 445 is és 44, is legalább az első hatványon, így minden tag osztható

445 \cdot 44 = 5 \cdot 89 \cdot 2 \cdot 22 = 10 \cdot 1958

-cal. Eszerint

\begin{matrix} N = 1958 A + 1958 \cdot 10 B = 1958 (A + 10 B) = 1958 C, \end{matrix}

ami bizonyítandó volt.

Horváth Dénes (Kisújszállás, Móricz Zs. g. II. o. t.)

Megjegyzés: Igazolhatjuk az állítást a teljes indukció módszerével is.

Tardos Csilla (Bp. XI., Kaffka M. lg. II. o. t.)