A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Előzetes megjegyzés: Az egyenlőség mindkét oldalát az és számokból a négy alapművelettel számítjuk (racionális kifejezések). Ezek közül az osztás az egyetlen olyan, amely körültekintést igényel atekintetben, hogy végrehajtható-e, éspedig hogy nem -val kívánunk osztani. Így egyenlőségünknek akkor és csak akkor van értelme, ha és egyike sem , azaz . és . (Ennek kimondását a II. osztályos megoldók elmulasztották, az elsősök pedig akkor még nem is tudtak róla.) Egyébként a szokásnak megfelelően -et tetszés szerinti állandóknak, -et változónak tekintjük. I. megoldás: Hozzuk közös nevezőre a jobb oldali törteket, rendezzük szerint a számlálót és végezzük el benne a lehetséges kiemeléseket:
A legutóbbi alak -vel egyszerűsítve éppen a bal oldal, tehát az egyenlőség valóban azonosság a benne előforduló betűknek mindazon értékeire, amelyekre a kifejezések értelmezve vannak.
Gyuris Éva (Gyöngyös, Vak Bottyán g. I. o. t.) | II. megoldás: A bizonyítandó azonosság módot ad arra, hogy a bal oldalon álló, másodfokú nevezőjű racionális kifejezést (függvényt) két egyszerűbb, elsőfokú nevezőjű racionális tört összegeként írhassuk. Ennek megfelelően kérdésünket úgy is felvethetjük, mintha csak a bal oldali kifejezést ismernők, továbbá azt, hogy milyen alakú felbontást keresünk: mely és együtthatók mellett lesz az | | (1) | egyenlőség azonosság (természetesen , , valamint kivételével)? A törtek eltávolításával és szerinti rendezéssel Ez akkor és csak akkor azonosság, ha együtthatója és az -mentes tag a két oldalon megegyezik: és Ez a követelés az és ismeretlenekre egyenletrendszert ad, megoldása: Ezek megegyeznek az adott együtthatókkal, tehát az egyenlőségünk valóban azonosság.
Tomcsányi Gyula (Bp. I., Toldy F. g. II. o. t.) | Megjegyzések. 1. és úgy is meghatározhatók, hogy két határozott helyre írjuk fel azt a követelést, hogy (2)-nek két oldala egyenlő legyen. Célszerűek erre az és helyek, ezekkel ugyanis (2)-nek rendezés előtti alakjából előre látni, hogy az előbbi egyenletrendszer helyett két egyismeretlenes egyenletet kapunk: és és ezekből és meghatározása még egyszerűbb.
Török László (Ózd, József A. g. II. o. t.) | 2. Vegyük észre, hogy itt -nek éppen azt a két helyet választottuk, amelyre (1) nincs értelmezve, amelyet előre kizártunk. Meg kell ezért gondolnunk, hogy helyes volt-e eljárásunk. Helyes volt, mert (1)-gyel együtt (4)-re is áll követelésünk, hogy ti. és kivételével minden helyen álljon. Ez végtelen sok helyet jelent, ami több, mint kettő. Ha pedig a (4)-nek két oldalán álló elsőfokú polinomok legalább két helyen egyenlő értéket vesznek fel, akkor azonosak, mindenhol egyenlők, így az előbb kizárt és helyeken is, értelmezési tartományukba ugyanis kivétel nélkül minden szám beletartozik. 3. és -re felírt egyenletrendszerünk (3) egyenlete is tekinthető az 1. megjegyzésbeli meggondolás példájának, ez az helyre követeli (2), ill. (4) két oldalának egyenlőségét. |