Kezdőlap


Feladat:	503. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bárczy Zsolt
Füzet:	1959/február, 47 - 48. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszög alapú hasábok, Beírt kör, Térfogat, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/május: 503. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a doboz magassága $x$ és az adott lemez befogóinak közös hossza $b$ . Ezekkel a doboz alapidomának befogói (l. az ábrát) $b - x - z = b - (2 + \sqrt[]{2}) x$ hosszúak, a térfogat pedig

\begin{matrix} V = \frac{1}{2} {[b - (2 + \sqrt[]{2}) x]}^{2} x . \end{matrix}

V

-nek ugyanazon

x

mellett van maximuma, mint

2 V

-nek, amely három csak az

x

-től függő, változó tényezőnek szorzata.

2 V

első két (egyenlő) tényezője

x

növekedésével fogy (természetesen

x

b

és minden más hosszúságméret csak pozitív lehet), a harmadik pedig növekszik; így az utóbbinak alkalmas pozitív állandóval való szorzása útján elérhetjük, hogy a három tényező összege ‐ és így számtani közepe is ‐ állandó legyen. Ekkor pedig a szorzat ‐ mint a három tényező mértani közepének köbe ‐ azon

x

mellett maximális, amely mellett a harmadik tényező egyenlő az első kettővel, ezért a számtani és mértani közép egyenlők, a szorzat legnagyobb értéke pedig a számtani közép köbével egyenlő.

x

együtthatója

2 V

csökkenő tényezőinek összegében

- 2 (2 + \sqrt[]{2})

, a növekvő tényezőben

1

, így az említett állandó szorzó:

2 (2 + \sqrt[]{2})

, és a

\begin{matrix} 4 (2 + \sqrt[]{2}) V = [b - (2 + \sqrt[]{2}) x] \cdot [b - (2 + \sqrt[]{2}) x] [2 (2 + \sqrt[]{2}) x] \end{matrix}

szorzat legnagyobb értékét adó dobozmagasságra

\begin{matrix} b - (2 + \sqrt[]{2}) x = 2 (2 + \sqrt[]{2}) x -ből, \\ x = b / 3 (2 + \sqrt[]{2}) = (2 - \sqrt[]{2}) b / 6 \approx b \cdot 0, 0976. \end{matrix}

Így a három tényező közös értéke

2 (2 + \sqrt[]{2}) x = 2 b / 3

és

4 (2 + \sqrt[]{2}) V

maximális értéke

8 b^{3} / 27

V

-é pedig

V_{max} = 2 b^{3} / 27 (2 + \sqrt[]{2}) = (2 - \sqrt[]{2}) b^{3} / 27 \approx b^{3} \cdot 0, 0217

Bárczy Zsolt (Hódmezővásárhely, Bethlen g. II. o. t.)

Megjegyzések. 1. A tényezők közös

2 b / 3

értéke a doboz alapháromszögének befogóját jelenti a maximumot adó dobozmagasság mellett; azt is mondhatjuk tehát, hogy a doboz keresett alapidoma a lemeznek (lineárisan)

2 : 3

arányú kicsinyítettje.
2. A használt állandó szorzó fele:

2 + \sqrt[]{2}

a lemez kerületével, és ezen keresztül a lemezbe, ill. a doboz alapidomába beírható kör sugarával áll kapcsolatban, ugyanis

2 s = b + b + \sqrt[]{2} b = (2 + \sqrt[]{2}) b

, továbbá

ϱ = t / s = 2 t / 2 s = b^{2} / (2 + \sqrt[]{2}) b =

= b / (2 + \sqrt[]{2})

, és így a maximális térfogatot adó dobozmagasság

x = ϱ / 3

. Valóban a lemez minden oldalán ugyanakkora

x

,,felhajtás'' azt is jelenti, hogy az alapidom mindhárom oldalát ugyanannyival vettük beljebb, ezért a doboz alapidomába írható kör középpontja egybeesik a lemezbe írható körével, sugara pedig azénál annak

1 / 3

-ával kisebb, vagyis annak

2 / 3

része.
3. Többen differenciálszámítással határozták meg a szélső értéket. Ez még nem hiba, csak szükségtelen, ,,ágyúval lőni verebekre''. Az viszont már hiány, hogy az ezen eljárás alkalmazása mellett szükséges diszkussziót (hogy ti. a szélső értéket adó

x

beleesik-e az értelmezési tartományba, van-e igazán szélső érték, maximum-e az, vagy minimum) többen elmulasztották.

x

, mint a gyakorlati méretezésben igen jól használható adat mellett többen az alapidom befogóját, átfogóját, beírt körének sugarát vették független változónak, adatnak pedig a lemez átfogóját, beírt körének sugarát; így közvetlenül kiadódik a tetszetős

1 / 3

arányszám.