Kezdőlap


Feladat:	502. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bakai Ilona , Fritz József , Rapcsák András , Szücs Jozsef
Füzet:	1959/február, 45 - 47. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középpontos tükrözés, Eltolás, Sokszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/május: 502. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Tekintsük a feladatot megoldottnak és legyen az $A B C D E$ ötszög egymásutáni $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D E$ , $E A$ oldalának felezőpontja rendre $F$ , $G$ , $H$ , $J$ , $K$ . Gondoljunk előbb azokra az egyszerűbb esetekre, ha négy-, ill. háromszögre kapnánk a hasonló feladatot ! Háromszöget egyértelműen meg lehet szerkeszteni oldalainak felezőpontjából: oldalegyeneseit egy-egy felezőponton át a másik kettő összekötésével párhuzamos egyenesek adják; négyszögekre nem áll ez, ezekre viszont azt tudjuk, hogy az oldalak felezőpontjai paralelogrammát határoznak meg. Ezek alapján kézenfekvő az ötszöget pl. az $A D$ átlójával az $A B C D$ négyszögre és az $A D E$ háromszögre bontani. Az előbbiben az $F$ , $G$ , $H$ pontoknak az $F G H L$ paralelogrammává való kiegészítésével megkapjuk az $A D$ oldal (ötszögátló) $L$ felezőpontját, majd a $J$ , $K$ , $L$ pontokból az $A D E$ háromszög csúcsait és ezzel a keresett ötszög három egymás utáni csúcsát. Ezután a $B$ és $C$ csúcsokat vagy ugyanezen elv alapján kaphatjuk, pl. az $A C$ átlóval való felbontásból kiindulva; vagy abból, hogy $B$ az $A$ -nak, $C$ pedig $D$ -nek tükörképe az $F$ , ill. $H$ felezőpontra vonatkozóan; vagy pl. $B$ -t az $A F$ egyenesnek az $E$ -n át $F K$ -val húzott párhuzamossal való metszéspontjaként.

Mindezen rész-szerkesztések egyértelműen hajthatók végre, így egynél több megoldás nem lehetséges. A megoldhatóságnak mindenekelőtt az egy feltétele, hogy a felezőpontok sorrendje is adott legyen. Hogy

F G H L

-ben valóságos paralelogrammát kapjunk, ehhez szükséges, hogy

F

G

H

‐ és általában bármely három egymásutáni felezőpont ‐ ne essék egy egyenesbe; végül, hogy

J

K

L

-ből valóságos

A D E

háromszöget kapjunk,

L

nem eshet a

J K

egyenesre, általában bármely három egymásutáni felezőpontot (megfelelő körüljárással) paralelogrammává kiegészítő pont nem eshet a további két felezőpontot összekötő egyenesre. (Az utóbbi feltételnek ez az általánosabb fogalmazása ‐ a fenti konkrét példa esetére biztosítja, hogy

E A

és

E D

nem megy át

F

, ill.

H

-n.)

Bakai Ilona (Makó, József A. g. II. o. t.)

Megjegyzések. 1. Hogy a megszerkesztett ötszög konvex legyen, ehhez

F G H J K

-nak konvex volta nem elegendő. Ha azonban még az is teljesül, hogy

L

J K

egyenesnek ugyanazon oldalára esik, mint az

F

G

H

ponthármas, és ez ismét a felezőpontoknak bármely ilyen típusú kettéválasztására áll, akkor az

A E D ∢

, ill. az ötszög minden szöge kisebb

180^{\circ}

-nál.
2. Valamennyi említett pont megszerkesztése tükrözésként is leírható:

G

-t tükröztük

F H

felezőpontjára:

L

, majd

J

-t, ill.

K

-t, ill.

L

-et,

K L

J L

J K

felezőpontjára:

A

D

E

, végül

A

-t, ill.

D

-t

F

, ill.

H

-ra:

B

, ill.

C

. Ellenőrzés: kell, hogy

B

és

C

tükrös pár legyen

G

-re.

II. megoldás: A fentiek után a szerkesztés előkészítéséül elegendő pl. az

A C

és

A D

átlók közti

A C D

háromszög megszerkesztése is. Evégett egy tetszőlegesen választott

A'

pontból kiindulva egy az

A C D

-vel egybevágó és megegyező állású (azaz párhuzamos oldalakkal bíró)

A' C' D'

háromszöget szerkesztünk annak kihasználásával, hogy az

A

-ból

C

, ill.

D

felé mutató irányt, és általuk a

C A D

szöget megadja az

F

-ből

G

, ill.

K

-ból

J

felé mutató irány, az

A C

, ill.

A D

szakaszok pedig kétszeresei

F G

, ill.

K J

-nek. Ezt a háromszöget a

C' D'

oldal

H'

felezőpontját az adott

H

-ba vivő eltolás állítja a megfelelő helyre.

Rapcsák András (Debrecen, Fazekas M. gyak. g. I. o. t.)

Megjegyzés. 3. Vehettük volna

A' C' D'

helyett a hozzá hasonló, feleakkora és párhuzamos, de ellentétes irányú oldalakkal bíró

H' L' M'

háromszöget is; ennek ismeretében

C

, ill.

D

H L' M' C

, ill.

H M' L' D

paralelogramma negyedik csúcsaként, azaz lényegében ismét eltolással kapható. Ennek az a speciális esete, ha

H'

-t

H

-ban választjuk, két az I. megoldásban szerepelt paralelogrammára vezet.

III. megoldás: A 2. megjegyzésbeli tükrözésekre és a befejező-ellenőrző lépésre gondolva adódik a következő megoldás. Ha egy tetszésszerinti

P

pontot egy adott felezőpontra tükrözünk, majd a

P_{1}

tükörképét a következő felezőpontra s i. t., és az ötödik tükrözéssel visszajutunk

P

-be, akkor

P

és

4

tükörképe éppen a keresett ötszög csúcsait adják.

Milyen helyzetűek már most

P_{5}

és

P

, ha ez utóbbit nem ilyen szerencsésen választottuk ? A középpontos tükrözés távolságtartó és az irányokat ellentétesre fordító tulajdonsága folytán a ,,hibás''

P

és a ,,helyes''

A

pont által meghatározott

P A

szakasz, továbbá a

P_{1} B

P_{2} C

P_{3} D

P_{4} E

P_{5} A

szakaszok egyenlő hosszúak, és közülük mindegyik egymásutáni kettő ellentétes irányú. Eszerint a közös végpontú

P A

és

P_{5} A

egyenlők, ellentétes irányúak, más szóval

A

felezőpontja a

P P_{5}

szakasznak. A többi csúcs ebből a fentiek szerint szerkeszthető.

Szűcs József (Szeged, Ságvári E. g. II. o. t.)

Megjegyzés. 4. A feladat a legutóbbi gondolatmenettel tetszés szerinti páratlan oldalszámú sokszög esetén megoldható. Egyúttal azt is látjuk, hogy páros oldalszámú sokszög nem szerkeszthető meg egyértelműen az oldalfelező pontok helyzetéből, ugyanis

2 n

számú adott pont csak bizonyos feltételek mellett alkothatja egy

2 n

-szög oldalfelezőpontjainak rendszerét, ha viszont ezek teljesülnek, akkor bármely

P

-ből kiindulva az adott pontokon való

2 n

egymásutáni tükrözés után

P_{2 n}

egybeesik

P

-vel.

Fritz József (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. I. o. t.)