A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Tekintsük a feladatot megoldottnak és legyen az ötszög egymásutáni , , , , oldalának felezőpontja rendre , , , , . Gondoljunk előbb azokra az egyszerűbb esetekre, ha négy-, ill. háromszögre kapnánk a hasonló feladatot ! Háromszöget egyértelműen meg lehet szerkeszteni oldalainak felezőpontjából: oldalegyeneseit egy-egy felezőponton át a másik kettő összekötésével párhuzamos egyenesek adják; négyszögekre nem áll ez, ezekre viszont azt tudjuk, hogy az oldalak felezőpontjai paralelogrammát határoznak meg. Ezek alapján kézenfekvő az ötszöget pl. az átlójával az négyszögre és az háromszögre bontani. Az előbbiben az , , pontoknak az paralelogrammává való kiegészítésével megkapjuk az oldal (ötszögátló) felezőpontját, majd a , , pontokból az háromszög csúcsait és ezzel a keresett ötszög három egymás utáni csúcsát. Ezután a és csúcsokat vagy ugyanezen elv alapján kaphatjuk, pl. az átlóval való felbontásból kiindulva; vagy abból, hogy az -nak, pedig -nek tükörképe az , ill. felezőpontra vonatkozóan; vagy pl. -t az egyenesnek az -n át -val húzott párhuzamossal való metszéspontjaként.
Mindezen rész-szerkesztések egyértelműen hajthatók végre, így egynél több megoldás nem lehetséges. A megoldhatóságnak mindenekelőtt az egy feltétele, hogy a felezőpontok sorrendje is adott legyen. Hogy -ben valóságos paralelogrammát kapjunk, ehhez szükséges, hogy , , ‐ és általában bármely három egymásutáni felezőpont ‐ ne essék egy egyenesbe; végül, hogy , , -ből valóságos háromszöget kapjunk, nem eshet a egyenesre, általában bármely három egymásutáni felezőpontot (megfelelő körüljárással) paralelogrammává kiegészítő pont nem eshet a további két felezőpontot összekötő egyenesre. (Az utóbbi feltételnek ez az általánosabb fogalmazása ‐ a fenti konkrét példa esetére biztosítja, hogy és nem megy át , ill. -n.)
Bakai Ilona (Makó, József A. g. II. o. t.) | Megjegyzések. 1. Hogy a megszerkesztett ötszög konvex legyen, ehhez -nak konvex volta nem elegendő. Ha azonban még az is teljesül, hogy a egyenesnek ugyanazon oldalára esik, mint az , , ponthármas, és ez ismét a felezőpontoknak bármely ilyen típusú kettéválasztására áll, akkor az , ill. az ötszög minden szöge kisebb -nál. 2. Valamennyi említett pont megszerkesztése tükrözésként is leírható: -t tükröztük felezőpontjára: , majd -t, ill. -t, ill. -et, , , felezőpontjára: , , , végül -t, ill. -t , ill. -ra: , ill. . Ellenőrzés: kell, hogy és tükrös pár legyen -re. II. megoldás: A fentiek után a szerkesztés előkészítéséül elegendő pl. az és átlók közti háromszög megszerkesztése is. Evégett egy tetszőlegesen választott pontból kiindulva egy az -vel egybevágó és megegyező állású (azaz párhuzamos oldalakkal bíró) háromszöget szerkesztünk annak kihasználásával, hogy az -ból , ill. felé mutató irányt, és általuk a szöget megadja az -ből , ill. -ból felé mutató irány, az , ill. szakaszok pedig kétszeresei , ill. -nek. Ezt a háromszöget a oldal felezőpontját az adott -ba vivő eltolás állítja a megfelelő helyre.
Rapcsák András (Debrecen, Fazekas M. gyak. g. I. o. t.) | Megjegyzés. 3. Vehettük volna helyett a hozzá hasonló, feleakkora és párhuzamos, de ellentétes irányú oldalakkal bíró háromszöget is; ennek ismeretében , ill. a , ill. paralelogramma negyedik csúcsaként, azaz lényegében ismét eltolással kapható. Ennek az a speciális esete, ha -t -ban választjuk, két az I. megoldásban szerepelt paralelogrammára vezet. III. megoldás: A 2. megjegyzésbeli tükrözésekre és a befejező-ellenőrző lépésre gondolva adódik a következő megoldás. Ha egy tetszésszerinti pontot egy adott felezőpontra tükrözünk, majd a tükörképét a következő felezőpontra s i. t., és az ötödik tükrözéssel visszajutunk -be, akkor és tükörképe éppen a keresett ötszög csúcsait adják.
Milyen helyzetűek már most és , ha ez utóbbit nem ilyen szerencsésen választottuk ? A középpontos tükrözés távolságtartó és az irányokat ellentétesre fordító tulajdonsága folytán a ,,hibás'' és a ,,helyes'' pont által meghatározott szakasz, továbbá a , , , , szakaszok egyenlő hosszúak, és közülük mindegyik egymásutáni kettő ellentétes irányú. Eszerint a közös végpontú és egyenlők, ellentétes irányúak, más szóval felezőpontja a szakasznak. A többi csúcs ebből a fentiek szerint szerkeszthető.
Szűcs József (Szeged, Ságvári E. g. II. o. t.) | Megjegyzés. 4. A feladat a legutóbbi gondolatmenettel tetszés szerinti páratlan oldalszámú sokszög esetén megoldható. Egyúttal azt is látjuk, hogy páros oldalszámú sokszög nem szerkeszthető meg egyértelműen az oldalfelező pontok helyzetéből, ugyanis számú adott pont csak bizonyos feltételek mellett alkothatja egy -szög oldalfelezőpontjainak rendszerét, ha viszont ezek teljesülnek, akkor bármely -ből kiindulva az adott pontokon való egymásutáni tükrözés után egybeesik -vel.
Fritz József (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. I. o. t.) |
|