Feladat: 501. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Máté Zsolt ,  Mezey Ferenc ,  Pósa Lajos ,  Török László 
Füzet: 1959/február, 43 - 45. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek egybevágósága, Beírt kör, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1958/május: 501. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A beírt körhöz a csúcsokból húzható érintőszakaszok egyenlősége és a háromszög derékszögű volta folytán a befogók és az átfogó hossza rendre (1. ábra):

 
 
1. ábra
 

m+ϱ,n+ϱ,m+n,(1)
így a keresett terület kétszerese a befogók szorzataként:
2t=(m+ϱ)(n+ϱ)=mn+(m+n+ϱ)ϱ.(2)


Innen ϱ-t ki kell küszöbölnünk. A területnek és ϱ-nak más, minden háromszögre érvényes összefüggése: t=sϱ, ez viszont a kerület felét vonja be újabb ismeretlenként számításunkba. Ámde (1) alapján s is kifejezhető m, n, ϱ-val: s=m+n+ϱ, sőt (2) jobb oldalának második szorzatában éppen sϱ=t-re ismerünk rá, így a kiküszöbölés egy csapásra sikerül. Ezt beírva rendezéssel a keresett területképlet t=mn.
 

Máté Zsolt (Szeged, Radnóti M. gyak. g. II. o. t.)
 

Megjegyzés. Az adatok és a kiküszöbölendő ϱ között (1) felhasználásával a Pythagoras-tétel is ad összefüggést: (m+ϱ)2+(n+ϱ)2=(m+n)2-ből összevonással, felezéssel és kiemeléssel (m+n+ϱ)ϱ=mn, ezt (2)-be helyettesítve (vagy a bal oldalban sϱ=t felismerésével) t=mn.
 

Pósa Lajos (Bp. XIII., Sziget utcai ált. isk. V. o. t.)
 

II. megoldás: Jusson eszünkbe, hogy a Heron-féle területképlet gyökjele alatti szorzat tényezői közül a három különbség a csúcsokból a beírt körhöz húzott érintőszakaszok hosszát jelenti, esetünkben s-a=m, s-b=n, s-c=ϱ. Ezeket a képletbe beírva, majd az sϱ szorzatban a terület egy másik kifejezésére ráismerve
t=s(s-c)(s-a)(s-b)=sϱmn=tmn,
és innen négyzetre emeléssel és osztással t=mn.
 

Török László (Ózd, József A. g. I. o. t.)
 

III. megoldás: A feladatot a területátalakítás módszerével is megoldhatjuk. Egészítsük ki az ABC derékszögű háromszöget a D csúccsal téglalappá, hosszabbítsuk meg a beírt kör OA', OB' érintési sugarait az AD, ill. BD oldalon levő E, ill. F metszésig, jelöljük A'E, ill. B'F-nek az AB átlóval való metszéspontját G, ill. H-val, és a körnek AB-n levő érintési pontját I-vel (2. ábra).
 
 
2. ábra
 

Ekkor ‐ betűk együttesével a megfelelő területet jelölve ‐
ABC=BAD=BHF+FHGED+GAE=OHI+FHGED+GOI=FOED,
ugyanis a BHF és OHI, valamint GAE és GOI derékszögű háromszögek egybevágók, mert H-nál, ill. G-nél levő hegyes szögeik csúcsszögek, és a velük szemben fekvő befogók hossza a beírt kör sugarával egyenlő. Eszerint
t=FO⋅OE=BA'⋅B'A=BI⋅IA=mn.

Mezey Ferenc (Bp. II., Rákóczi F. g. II. o. t.)