Kezdőlap


Feladat:	500. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horváth Dénes
Füzet:	1959/február, 43. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Műveletek polinomokkal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/május: 500. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A törtek eltávolítása, vagyis mindnégy nevezővel való szorzás révén egyenletünkből az

\begin{matrix} (a + b + c) x^{2} + 2 (a b + a c + b c) x + 3 a b c = 0 \end{matrix}

(1)

legfeljebb másodfokú egyenlethez jutunk. A szorzás révén gyök nem veszhetett el, így eredeti egyenletünknek más gyöke nem lehet, mint (1)-nek (fordítva azonban lehetséges, hogy (1)-nek valamelyik, esetleg mindkét gyöke ‐ ha van ‐ az adott egyenletnek nem gyöke), ennélfogva elegendő azt megmutatni, hogy (1)-nek minden gyöke valós.
Ez tulajdonképpen csak akkor kérdés, ha (1) valóban másodfokú, vagyis

a + b + c \neq 0

, ugyanis az ellentétes esetben valós együtthatós, legfeljebb elsőfokú egyenlettel állunk szemben, ilyenben nem valós gyökről nem lehet szó. Az

a +

+ b + c \neq 0

esetre a diszkriminánst az alábbiak szerint alakítva

\begin{matrix} 4 & {(a b + a c + b c)}^{2} - 12 a b c (a + b + c) = 4 (a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2} - a^{2} b c - b^{2} a c - c^{2} a b) = \\ = 2 [(a^{2} b^{2} - 2 a^{2} b c + a^{2} c^{2}) + (b^{2} c^{2} - 2 b^{2} c a + a^{2} b^{2}) + (a^{2} c^{2} - 2 c^{2} a b + b^{2} c^{2})] = \\ = 2 [a^{2} {(b - c)}^{2} + b^{2} {(c - a)}^{2} + c^{2} {(a - b)}^{2}], \end{matrix}

látjuk, hogy mint négyzetek összegének

2 > 0

-val való szorzata, nem lehet negatív, ennélfogva valóban sem (1)-nek, sem az adott egyenletnek nem lehet nem valós gyöke, másképpen: ha van egyáltalán gyöke, akkor csak valós gyöke lehet.

Horváth Dénes (Kisújszállás, Móricz Zs. g. I. o. t. )