Kezdőlap


Feladat:	498. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Molnár Emil
Füzet:	1959/február, 40 - 41. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Azonosságok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/május: 498. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltevésben szereplő egyenlő értékű kifejezéseknek csak akkor van értelmük, ha $a$ , $x$ , $y$ , $z$ az $1$ -től különböző pozitív számok; ezt feltesszük. Megmutatjuk továbbá, hogy közös értékük nem lehet $0$ ; ez ugyanis csak a számlálók háromtagúi miatt lenne lehetséges, márpedig az $y + z - x = x + z - y =$ $= x + y - z = 0$ egyenletrendszerből egyértelműen a kizárt $x = y = z = 0$ esetre jutnánk.
Most már a feltevés első két tagjának egyenlőségéből átrendezéssel:

\begin{matrix} x \frac{^{a} log y}{^{a} log x} = x \cdot^{x} log y =^{x} log y^{x} = \frac{y (x + z - y)}{y + z - x} . \end{matrix}

(1)

Az adott egyenlő kifejezések egymásba mennek át, ha

y

és

z

-t felcseréljük,

x

-et változatlanul hagyjuk. Ez a belőlük folyó (1)-ra is érvényes, ennélfogva

\begin{matrix} ^{x} log z^{x} = \frac{z (x + y - z)}{y + z - x} . \end{matrix}

(2)

(1) és (2) különbségét képezve a kapott logaritmus-egyenlőségből a megfelelő hatványok egyenlőségére következtethetünk:

\begin{matrix} ^{x} log y^{x} -^{x} log z^{x} =^{x} log \frac{y^{x}}{z^{x}} = \frac{y (x + z - y) - z (x + y - x)}{y + z - x} = z - y, \\ \frac{y^{x}}{z^{x}} = x^{z - y} = \frac{x^{z}}{x^{y}}, \end{matrix}

és innen

\begin{matrix} x^{y} y^{x} = x^{z} z^{x} . \end{matrix}

Hasonlóan kapjuk, hogy

y^{z} z^{y}

értéke ugyanennyi.

Molnár Emil (Győr, Révai M. g. I. o. t.)

Megjegyzés: A feladat egy más megoldásának vázlata található a Matem. Szakköri Feladatgyűjtemény c. középiskolai szakköri füzetben.^{$^{*}$}

^{$^{*}$}2. kiadás (Tankönyvkiadó, 1955.) 102. fd. 76. o.