Kezdőlap


Feladat:	497. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baticz Kinga , Bencsik I. , Berei D. , Biborka T. , Bollobás B. , Bürger Nándor , Csák Zs. , Czékus L. , Farkas Gy. , Fenyő G. , Fritz J. , Gazsi L. , Grüner Gy. , Hajna J. , Hornyánszky T. , Komlós J. , Lefkovitsch S. , Molnár E. , Muszély Gy. , Nagymajtényi Emőke , Náray Szabó G. , Ortutay M. , Parti Enikő , Perneczky G. , Pósch Margit , Raisz Klára , Rapcsák A. , Sáry Barna Sz. , Székely J. , Szücs J. , Tihanyi Ambrus , Török L. , Vámosi P.
Füzet:	1959/február, 40. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/május: 497. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Kifejezésünket $N$ -nel jelölve a legismertebb logaritmus- és hatványazonosságokkal és $lg 1 = 0$ -val

\begin{matrix} N = a^{lg (\frac{1}{b^{lg a}})} = a^{- lg (b^{lg a})} = a^{- lg a lg b} = \frac{1}{a^{lg a lg b}} . \end{matrix}

Még egyszerűbb, még kevesebb ,,új'' elemet tartalmazó alakot kaphatunk az

\begin{matrix} a^{lg b} = b^{lg a} \end{matrix}

(1)

azonosság felhasználásával, amelyet a

lg b \cdot lg a = lg a \cdot lg b

egyenlőség mindkét oldalának hatvány logaritmusaként való értelmezésével nyerünk. Így folytatólag

\begin{matrix} N = \frac{1}{{(a^{lg b})}^{lg a}} = \frac{1}{{(b^{lg a})}^{lg a}} = \frac{1}{b^{lg^{2} a}} . \end{matrix}

Bürger Nándor (Bp. XI., József A. g. II. o. t.)

II. megoldás: Mindjárt az első lépésben az (1) azonosságnak (értelemszerűen történő) alkalmazásával:

\begin{matrix} N = {(\frac{1}{b^{lg a}})}^{lg a} = \frac{1}{b^{lg^{2} a}} . \end{matrix}

Tihanyi Ambrus (Bp. V., Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.)