Kezdőlap


Feladat:	496. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gáti Pál , Jahn András
Füzet:	1959/február, 38 - 39. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Prímtényezős felbontás, Természetes számok, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/május: 496. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: $A$ , $B$ és $C$ közlései függetlenek egymástól ‐ ezt nem érinti az, hogy $C$ -é megegyezik $A$ -éval ‐, köztük csak az elbeszélőnek az a közlése ad kapcsolatot, hogy $C$ a legfiatalabb; így a közlésekkel egyelőre külön-külön foglalkozhatunk. Minthogy számrendszerek alapszámairól, valamint számjegyeiről van szó, ezek kimondatlanul is természetes számok.
Az $A$ által használt legkisebb számot $a$ -val, alapszámot $b$ -vel jelölve

\begin{matrix} a \cdot b + (a + 2) = (a + 4) (a + 6), \end{matrix}

ahol

a + 2

is számjegy, tehát

a + 2 < b

. Ebből

\begin{matrix} b = \frac{a^{2} + 9 a + 22}{a} = a + 9 + \frac{22}{a} \end{matrix}

csak úgy lehet egész, ha

a

osztója

22

-nek. Innen

\begin{matrix} a = 1-gyel & ab = 32-es rendszer & \bar{13}száma, & 35 = 5 \cdot 7, \\ a = 2-vel & ab = 22-es,, & \bar{24},, & 48 = 6 \cdot 8, \\ a = 11-gyel & ab = 22-es,, & \bar{(11) (13)},, & 255 = 15 \cdot 17, \\ a = 22-vel & ab = 32-es,, & \bar{(22) (24)},, & 728 = 26 \cdot 28 \end{matrix}

adódik

A

és

C

lehetséges életkorának; az utóbbi kettőről nyilván nem lehet szó, és mivel

C

a fiatalabb kettőjük közül, azért

A

48 és

C

35 éves.
Hasonlóan

B

legkisebb használt számát

c

-vel, alapszámát

d

-vel jelölve

\begin{matrix} c \cdot d + (c + 1) = (c + 2) (c + 3), (c + 1 < d) \\ d = \frac{c^{2} + 4 c + 5}{c} = c + 4 + \frac{5}{c} . \end{matrix}

Innen

c = 1

-gyel a

d = 10

-es rendszer

\bar{12}

száma,

12 = 3 \cdot 4

c = 5

-tel

d = 10

-es rendszer

\bar{56}

száma,

56 = 7 \cdot 8

adódik

B

korára. Életkornak mindkettő elfogadható, mivel azonban

C

a legfiatalabb, azért

B

56

éves.

B

szórakozottsága nem abban mutatkozik, hogy hibás adatot közöl, hanem hogy a megállapodás ellenére a tízes számrendszert használta.

Gáti Pál (Pécs, Nagy Lajos g. I. o. t.)

II. megoldás: A fenti eredményekhez próbálgatással is eljuthatunk.

A

és

C

esetében legkisebb számnak

1

-et véve a

\bar{13}

rövidítéshez van olyan alapszám, amelyben ez

5 \cdot 7

-et jelent, éspedig

(5 \cdot 7 - 3) : 1 = 32

(az

5 \cdot 7

számból elvettük a magasabb egységbe nem foglalt

3

-at és így visszamaradt az alapszám

1

-szerese). Hasonlóan

\bar{24} = 6 \cdot 8

-ból alapszámnak

(6 \cdot 8 - 4) : 2 = 22

adódik, ez és a

48

éves életkor elfogadható. Ellenben a

\bar{35} = 7 \cdot 9

\bar{46} = 8 \cdot 10

\bar{57} = 9 \cdot 11

\bar{68} = 10 \cdot 12

feltevések tört alapszámot adnának, ami nem használható; nagyobb számokkal pedig az ismert maximális emberi életkor túlhaladása miatt felesleges próbálkozni.

B

esetében több hasonló próbát kell végeznünk, de csak a látott

10

és

56

fogadható el.

Jahn András (Győr, Bencés g. II. o. t.)