A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Legyen az adott egyenes , a rajta levő pont , az adott kör, a középpontja, a sugara és az -n levő érintési pontja , , , . Elég avval az esettel foglalkoznunk, ha nem esik -be, különben ‐ -tól függetlenül ‐ minden olyan kör megoldása volna a feladatnak, amely -t -ben érinti, és más megoldás nem is lenne. Így a -ra nézve külső pont, ezért a keresett kör a -t csak kívülről érintheti, másrészt -t csak arról a partjáról, amelyen van. Képzeljük a feladatot megoldottnak, és legyen -nek közepe és sugara , (az ábrákat magatok készítsétek el!). Ekkor , ennélfogva, ha -t az -rel nagyobb sugarú körré fújjuk fel, eközben a középpontokat rögzítetteknek tekintjük, és és érintkezését állandóan fenntartjuk, evvel -t az középpontra zsugorítjuk össze, és -t a vele párhuzamos, tőle a -val ellentétes oldalon távolságban levő -be toljuk el. és -nek érintkezési pontját -nek -n levő vetülete adja meg. Ezek szerint , , , végül egymásután megszerkeszthetők, ugyanis számára egy mértani hely az -re -ben felállított merőleges félegyenes, és egy másik az -nek felező merőlegese. Mindig egy megoldás van, mert és különbözősége folytán biztosan metszi -et.
Bácsy Zsolt (Bp. V., Eötvös J. g. I. o. t.) | Megjegyzés. felhasználása az alábbiakkal is indokolható. a -ben érint minden olyan kört, amely -t -ben érinti, köztük azt a -ot is, amelynek sugara , és amely -nek a -val ellentétes partján van. Így és egymást ugyancsak kívülről érintik, tehát az érintkezések és a sugarak egyenlősége folytán a , és -ből álló alakzat tengelyszimmetrikus az szakasz felező merőlegesére.
Nagy Márton (Szombathely, Nagy Lajos g. II. o. t.) | II. megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak és legyen a fenti jelöléseken túl és érintkezési pontja . Eszerint -nak -beli érintője -t is érinti. Legyen és metszéspontja (ez biztosan létezik, lehetetlen ugyanis, hogy párhuzamos legyen -vel, mert különben a kör átmérőjének végpontjába esnék, és az -re -ben és -ben állított merőlegesek mindegyikén rajta lenne). Ekkor , mert az -ből és -höz húzott érintőszakaszok, tehát felezőpontja -nek. Most már a szerkesztés lépései: , , , majd és félegyenesek metszéseként kitűzése, végül körül sugárral előállítása. A egyenes -t két félkörívre és a síkot két félsíkra vágja szét. azon a félköríven és félsíkon van, mint ‐ ugyanis a négyszögből ‐, viszont ugyanazon a félsíkon van, mint , ezért az félegyenes biztosan metszi -et. megrajzolása mellőzhető is, -et -ból az közepű sugarú körrel is kimetszhetjük. Bleyer András (Bp. V., Eötvös J. g. II. o. t.) | Megjegyzés. Hogy -et a átmérőjű kör metszi ki -ból, azt így is beláthatjuk: legyen a trapézban , ekkor , másrészt az és háromszögekből és , ennélfogva , azaz látószöge -ben .
Timár Peregrin (Bp. V., Eötvös J. g. II. o. t.) | III. megoldás: A fenti jelölésekkel a és körök belső hasonlósági pontja, eszerint rajta van -n, továbbá rajta van a körök egy‐egy, ellentett irányú sugarának végpontjait összekötő egyenesen. Ilyen sugarak és , ennélfogva -et megadja és metszése. Komlóssy György (Szolnok, Verseghy F. g. II. o. t.) |
|