Feladat: 492. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Fritz József 
Füzet: 1959/január, 12 - 13. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Trapézok, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1958/április: 492. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tisztázzuk mindenekelőtt a szóban forgó szög helyzetét! Az ABCD egyenlő szárú trapéz átlóinak O metszéspontjánál levő szögek közül azok egyike, amelyek kétszer akkorák, mint a trapéz hegyes szögei, nem lehet a szárakra néző AOD szög, ugyanis ennek felezője AD=BC folytán párhuzamos a trapéz alapjaival (1. ábra), így EOA∢=OAB∢, ez pedig az 12DOA∢=EOA∢=DAB∢ adattal egybevetve elfajult trapézra vezetne.

 
 
1. ábra
 

Így a ,,kétszerakkora'' szögek egyike az AOB szög.
Messe ennek OF felezője AB-t F-ben (2. ábra), így feltevés szerint BOF∢=DAB∢, továbbá a trapéz szimmetrikus volta folytán az OFB szög derékszög. Eszerint az ABD és OBF háromszögekben egyik szög közös, egy‐egy további szögük egyenlő, ezért harmadik szögeik is egyeznek, ADB szög is derékszög.
 
 
2. ábra
 

Most már ‐ további, tulajdonképpeni adatainkat is tekintve ‐ ismerjük az ADB derékszögű háromszögnek AB átfogóját és AD befogóját, így ez megszerkeszthető, utána D-nek AB felező merőlegesén való tükrözésével megkapjuk C-t.
A szerkesztés akkor és csak akkor ad egyetlen, a szokásos értelemben vett trapézt, ha az AD szár kisebb az AB, mint átfogó fölé szerkeszthető ABG egyenlőszárú derékszögű háromszög AG befogójánál; minden ilyen esetben az AOB szög valóban tompaszögnek adódik. Ha AD=AG, akkor D a G-be esik, a trapéz elfajul; ha pedig AD>AG, akkor hurkolt trapézra jutunk, az AC és BD ,,átlók'' hegyes szöget alkotnak.
 

Fritz józsef (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. I. o. t.)
 

Megjegyzések. Az elemzésben és a szerkesztésben nem használtuk fel a szóban forgó szögnek a derékszöghöz való nagyságviszonyát, ti. azt az ,,adatot'', hogy AOB tompaszög; ez az adat tehát tulajdonképpen felesleges. Ha AOB valóban tompaszög, ennek következményei: fele: DAB∢>45∘, ezért DBA∢<45∘, így AD<BD, és mint könnyen belátható: AD<AG. Innen is látható, hogy a tompaszögűség követelése tulajdonképpen más módon biztosítja a szokott értelemben való megoldhatóságot.
Megoldóink közül többen két sorrendet is adtak meg az ABD derékszögű háromszög megszerkesztésére: egyrészt az AB átfogóval kezdve a D ,,harmadik'' csúcsot Thales‐körrel való előkészítés után az AD-vel mint körívsugárral metszették ki, másrészt AD-vel és a derékszöggel kezdve a B csúcsot állították elő utolsónak AB sugarú körív révén. Mostani feladatunk szempontjából ez a két eljárás nem tekinthető lényegesen különbözőnek.