Kezdőlap


Feladat:	490. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bollobás B. , Hajna J. , Komlós J. , Mezey F. , Mocskónyi M. , Parti Enikő
Füzet:	1958/december, 148 - 149. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Függvényvizsgálat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/április: 490. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Hogy egyenletünknek legyenek határozott gyökei, fel kell tennünk, hogy $p \neq 0$ ; különben ugyanis a $0 x^{2} + 0 x + 0 = 0$ azonossággal állnánk szemben ‐ amelyet minden szám kielégít ‐, és így kérdésünknek nem volna értelme. Másrészt, hogy a gyökök valósak legyenek, fel kell tennünk, hogy a $p$ -vel egyszerűsített

\begin{matrix} x^{2} + (p + 1) x - (3 p - 2) = 0 \end{matrix}

(1)

egyenlet diszkriminánsa nem negatív:

\begin{matrix} 0 \leq {(p + 1)}^{2} + 4 (3 p - 2) = p^{2} + 14 p - 7 = {(p + 7)}^{2} - 56, \end{matrix}

(2)

azaz, hogy vagy

\begin{matrix} p \leq - 7 - \sqrt[]{56} \approx - 14, 48 vagy p \geq - 7 + \sqrt[]{56} \approx 0, 48. \end{matrix}

(2a)

A gyökök vizsgálandó

y

négyzetösszege kifejezhető összegükkel és szorzatukkal, ill. az (1)-beli együtthatók révén

p

-vel:

\begin{matrix} y = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = {(p + 1)}^{2} + 2 (3 p - 2) = \\ = p^{2} + 8 p - 3 = {(p + 4)}^{2} - 19. & (3) \end{matrix}

ennélfogva

y

-nak mint

p

függvényének minimumát kell keresnünk a (2a)-val meghatározott értelmezési tartományon.
(2a)-t nem tekintve

y

legkisebb értéke

p = - 4

mellett

- 19

, amikor ti. (3)-ban

{(p + 4)}^{2}

értéke a legkisebb, azaz

0

. Azonban

p = - 4

-et (2a) kizárja, és valóban az

y = - 19

érték is lehetetlen, hiszen négyzetek összege nem lehet negatív.
Hogy

y

értelmezési tartományának korlátozottságát figyelembe vehessük, tekintsük (3) grafikonját, töröljük belőle a (2a) révén kizárt ívet és a visszamaradt grafikonon keressük meg a ,,legalacsonyabb'' pontot.

A teljes grafikon parabola, a (

- 4

- 19

) pontbeli csúcsig süllyedő és onnan emelkedő ágakkal. Láttuk már, hogy a csúcs beleesik a törlendő ívbe, és mivel az értelmezési tartomány (2a)-ban megállapított végpontjai különböznek

p = - 4

-től, azért mindkét ág ,,aljáról'' törlünk egy-egy részt. Ezek után a keresett legkisebb értéket a visszamaradó két rész-ág végpontjainak ordinátái közül már közvetlen összehasonlítással kiválaszthatjuk:

\begin{matrix} p = - 7 \mp \sqrt[]{56} mellett y = {(- 3 \mp \sqrt[]{56})}^{2} - 19 = 46 \pm 12 \sqrt[]{14} \approx {\begin{matrix} 90,90 \\ 1,10, \end{matrix} \end{matrix}

eszerint a keresett legkisebb érték

y = 46 - 12 \sqrt[]{14} \approx 1, 10

és ezt

p = - 7 + 2 \sqrt[]{14} \approx

\approx 0, 48

-nál veszi fel

y

. Ekkor a diszkrimináns

0

, a gyökök:

x_{1} = x_{2} = - \frac{p + 1}{2} =

= 3 - \sqrt[]{14} \approx - 0, 7417

és

y = 2 x_{1}^{2} \approx 2 \cdot 0, 550 = 1, 100

Parti Enikő (Bp. XX., Bagi Ilona lg. II. o. t.)