Kezdőlap


Feladat:	489. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hajna János
Füzet:	1958/december, 146 - 147. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Természetes számok, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/április: 489. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Írjuk az adott $A$ kifejezést $n$ különbség összege helyett egyetlen különbségként:

\begin{matrix} A = n \cdot 10^{n} - (10^{n - 1} + 10^{n - 2} + ... + 10^{2} + 10^{1} + 10^{0}) . \end{matrix}

A kivonandó az az

n

-jegyű szám, amelynek minden jegye

1

. Ez kisebb, mint

10^{n}

, tehát ha levonjuk

10^{n}

-ből, az adódó különbséget hozzá kell adni a kisebbítendőből még megmaradó

(n - 1) 10^{n}

-hez, úgy kaphatjuk meg

A

-t. Le kell tehát vonnunk

10^{n}

-ből, vagyis az egy

1

-esből és utána

n

darab

0

-ból álló számból az

n

darab

1

-esből álló számot:

\begin{matrix} ⌣_{}^{n + 1} & ⌣_{}^{n} & ⌣_{}^{n - 1} & ⌣_{}^{n - 2} & ... & ⌣_{}^{3} & ⌣_{}^{2} & ⌣_{}^{1} \\ 10^{n} & 10^{n - 1} & 10^{n - 2} & 10^{n - 3} & ... & 10^{2} & 10^{1} & 10^{0} \\ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ \\ 1 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & ... & 1 & 1 & 1 \end{matrix}

(A szaggatott vonal fölött az oszlopok jobbról számított sorszámát és a helyi értéket írtuk ki.)
Mármost ‐ a kivonást a szokott módon végezve ‐ a

10^{0} = 1

helyi értékű oszlopban

9

kell a kivonandó

1

-nek a legközelebbi nagyobb,

0

-ra végződő számig, a

10

-ig való kipótlásához, vagyis különbségünkben és

A

-ban is az egyesek helyén valóban

9

áll; a

10^{1}

10^{2}

...

10^{n - 1}

helyi értékű oszlopok mindegyikébe a közvetlen utána álló oszlopból 1‐1 ,,maradékot'' viszünk át, így mindezekben

1 + 1 = 2

-t kell

10

-re kiegészítenünk, ehhez pedig valóban

8

egység szükséges, ilyen oszlop mind különbségünkben, mind

A

-ban

n - 1

számú van; végül kivonásunk

10^{n}

helyi értékű oszlopa üres marad, mert az áthozott

1

maradéknak a kisebbítendőbeli

1

-re való kipótlásához

0

egység kell, erre a helyre lép

A

-ban a kivonandóból megmaradt

n - 1

számú

10^{n}

helyi értékű egység. Ezzel bizonyításunkat befejeztük.

Hajna János (Pécs, Széchenyi I. g. II. o. t.)

II. megoldás: Az adott

n

tagú összeg minden tagja pontosan

n

-jegyű, mert kisebb

10^{n}

-nél, a legkisebb

n + 1

jegyű számnál, és nagyobb

10^{n - 1}

-nél, a legkisebb

n

-jegyűnél. Minthogy

k = 0, 1, 2, ..., n - 1

esetén

\begin{matrix} 10^{n} - 10^{k} = (10^{n - k} - 1) 10^{k} = 9_{}^{⌣_{}^{1}} 9_{}^{⌣_{}^{2}} ... 9_{}^{⌣_{}^{n - k}} 0_{}^{⌣_{}^{1}} 0_{}^{⌣_{}^{2}} ... 0_{}^{⌣_{}^{k}}, \end{matrix}

szóban: az egymás utáni tagok

1

2

...

n - 1

n

számú

9

-es jeggyel kezdődnek és ezek után

n - 1

n - 2

...

1

0

számú

0

jegy áll. Eszerint az összeadandókat a szokott módon egymás alá írva a

10^{n - 1}

10^{n - 2}

...

10^{1}

10^{0}

helyi értékű oszlopban alulról fölfelé

n

n - 1

...

2

1

számú

9

-es áll, a többi helyeken a

0

jegy. Ezen oszlopok jegyeinek összege rendre

\begin{matrix} 9 n, 9 (n - 1), ..., 36, 27, 18, 9, \end{matrix}

eszerint az összeadást a szokott módon végezve

A

-nak

10^{0}

és

10^{1}

helyi értékű jegye valóban

9

, ill.

8

, a

10^{1}

helyi értékű oszlop

1

-es maradékával a

10^{2}

jegy

1 + 27 = 28

-ból ugyancsak

8

, az innen adódó

2

maradékkal a

10^{3}

jegy

2 + 36 = 38

-ból ismét

8

és a maradék

3

. Eddig minden oszlop átviendő maradéka ugyanannyi, mint a helyi értékben a

10

-es alap kitevője. Általában is, feltéve, hogy a

10^{k - 1}

helyi értékű oszlop maradéka

k - 1

, evvel együtt a

10^{k}

oszlop összege

\begin{matrix} 9 (k + 1) + k - 1 = 10 k + 8, \end{matrix}

és ebből

8

A

-nak

10^{k}

értékű jegye és a

10^{k + 1}

helyi értékű oszlopba maradékként

k

számú

10

-est viszünk át. Ha végül a

k + 1

-edik oszlop az első olyan, amelyben már nincsenek

9

-esek, akkor

k + 1 = n

, így a

k = n - 1

-es maradékot

A

-nak a

10^{k}

oszlopbeli

8

-as jegye elé írjuk. Evvel bebizonyítottuk a feladat állítását.