Kezdőlap


Feladat:	488. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Albert I. , Biborka T. , Budai M. , Budai Zsuzsanna , Csák Zs. , Dömötör Gy. , Flanek L. , Fritz J. , Kiss A. , Komlós J. , Krámli András , Máthé Csaba , Nagy Péter , Pál G. , Parti Enikő , Raisz Klára , Rapcsák A. , Reischl T. , Rohrböck Krisztina , Sáry Barna Sz. , Timár P. , Tomcsányi Gy. , Zombory L.
Füzet:	1958/december, 145 - 146. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Műveletek polinomokkal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/április: 488. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az adott kifejezést $z$ -vel. Mindenekelőtt azt kell biztosítanunk, hogy $z$ -nek legyen értelme a valós számok körében.
Hogy az $\frac{1}{2}$ kitevős hatványoknak legyen értelmük, fel kell tennünk, hogy alapjuk nem negatív, azaz, hogy
$a)$ a nevezőkben $y \geq 0$ ,
$b)$ a számlálók második tagjában $x^{2} - y \geq 0$ ,
továbbá meg kell vizsgálnunk, hogy e két követelmény mellett hogyan alakul a két hányados, ill. a két számláló és a közös nevező előjele.
A $b)$ követelmény folytán $x^{2} \geq y$ , azaz

\begin{matrix} vagy b') x \geq y^{\frac{1}{2}} (\geq 0), vagy b'') x < - y^{\frac{1}{2}} (\leq 0) . \end{matrix}

Az egyenlőséget

b'')

-ben nem engedhetjük meg, mert különben a nevezők eltűnnének; hasonlóan

b')

-ben sem állhat mindkét

\geq

jel helyén egyidejűleg egyenlőség.
Mármost

b')

esetén a nevezők és az első számláló pozitívok, mert van pozitív tagjuk és nincs negatív tagjuk, továbbá a második számláló nem negatív, mert

b)

és

a)

folytán

x^{2} - y \leq x^{2}

és így

{(x^{2} - y)}^{\frac{1}{2}} \leq x

;

b'')

esetén a nevezők negatívok, a második számláló mindkét tagja negatív, és az első számláló nem pozitív, mert

b'')

és

a)

folytán

x^{2} - y \leq x^{2}

{(x^{2} - y)}^{\frac{1}{2}} \leq

\leq | x | = - x

; ezek szerint mindkét alesetben mindkét hányados pozitív vagy

0

, így további feltevések nélkül

z

mindkét tagjának van értelme.
Kimondhatjuk azt is, hogy csak az egyik hányados lehet

0

, a

b')

esetben a második,

b'')

-ben az első, így

z

mindenképpen pozitív, ennélfogva egyenlő négyzetének (pozitív) négyzetgyökével. Eszerint pedig

\begin{matrix} z = {(z^{2})}^{\frac{1}{2}} = {(\frac{x + {(x^{2} - y)}^{\frac{1}{2}} + 2 {[x^{2} - (x^{2} - y)]}^{\frac{1}{2}} + x - {(x^{2} - y)}^{\frac{1}{2}}}{2 (x + y^{\frac{1}{2}})})}^{\frac{1}{2}} = \\ = {(\frac{2 x + 2 y^{\frac{1}{2}}}{2 (x + y^{\frac{1}{2}})})}^{\frac{1}{2}} = 1^{\frac{1}{2}} = 1, \end{matrix}

vagyis kifejezésünk értéke (a tett követelmények mellett) állandó. Ennél egyszerűbb alak nyilván nem lehetséges.

Krámli András (Szeged, Radnóti M. gyak. g. I. o. t.)

Megjegyzés. A legtöbb dolgozat beküldője helytelenül

\pm 1

-et adta meg a kifejezés legegyszerűbb alakjának. Pontveszteségük tanulságaként véssék ezek jól emlékezetükbe egyrészt, hogy

\frac{1}{2}

kitevőjű hatványon

a

(nemnegatív) alapnak a nemnegatív négyzetgyökét értjük, másrészt, hogy megoldásunkat akkor írjuk (pl.)

\pm 1

alakban, ha olyan számot keresünk, amelynek négyzete

1

. Figyeljük meg az előző mondatot nyelvi szempontból is, a pontos (,,szabatos'') beszéd szempontjából. Az ,,a'' határozott névelő használata azt fejezi ki, hogy (egyetlenegy) jól meghatározott valamiről ‐ itt számról ‐ van szó; míg az ,,olyan'' melléknévi mutató névmás itt arra a mellékmondatra mutat rá, amelyben kifejezett tulajdonsága több számnak is meglehet, esetünkben

+ 1

és

- 1

azok, amelyeknek megvan, és más számnak nincs meg. ‐ Teljes értékűnek csak azokat a dolgozatokat fogadtuk el, amelyek ki is mondják, hogy

- 1

nem lehet a kifejezés értéke.