Kezdőlap


Feladat:	486. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Dudás Jozsef , Markács István , Szekeres Ottó , Török András
Füzet:	1958/december, 142 - 144. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/március: 486. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak és állítsuk elő az $A B C ▵$ -nek $C A$ oldalegyenesén az $a + b - c = d$ eltérést (1. ábra).

1. ábra

B

csúcsot

C

ill.

A

körül

A C

-nek

C

-n túli meghosszabbításába beforgatva

B' C = a

B'' A = c

, és

B' B'' = B' C + C A - B'' A = a + b - c = d

. Most már adataink alapján meghatározhatjuk a

B

C

B'

B''

pontok egymáshoz képest elfoglalt helyzetét, és ezekből

A

-t:

C

derékszög szárain

C B = C B' = a

-val kijelöljük

B

és

B'

-t,

B' B'' = d

-vel

B' C

-n

B''

-t (

B'

-től

C

felé, mert

A B'' = c < a + b = A B'

) végül a

C B'

egyenes és

B B''

felezőmerőlegesének metszéseként

A

-t. ‐ Minthogy

A B'' = c > b = A C

, azért a szerkeszthetőség feltétele, hogy

B''

B' C

szakasz belsejébe essék, azaz

B' B'' = d < B' C = a

legyen, ilyenkor egy megoldás van.

Markács István (Pécs, Bányaipari t. II. o. t.)

II. megoldás: Az

a + b - c = 2 (s - c)

szakasz minden háromszögben annak a távolságnak a kétszeresét adja meg, amennyire az

O

közepű beírt körnek a

C B

ill.

C A

oldalon levő

A'

ill.

B'

érintési pontja van a

C

csúcstól. Ennek alapján tetszés szerinti adott

B C A ∢ = γ

esetén a

C B = a

szakasz és

γ

elhelyezése után a

C A' O B'

deltoid és vele a beírt kör megszerkeszthető, végül az ehhez

B

és

C

-ből húzható második érintők metszéspontja adja

A

-t. Esetünkben

γ = 90^{\circ}

, a deltoid négyzetté specializálódik és

d

az érintőkör átmérőjét is megadja.
A

B

-ből húzható második érintő akkor és csak akkor metszi a

C B'

egyenest

B C

-nek a

B'

-vel ugyanegy oldalán (egyetlen pontban), ha

d = 2 ϱ < a

Szekeres Ottó (Pécs, Bányaipari t. I. o. t.)

III. megoldás: A Pythagoras-tétel szerint:

\begin{matrix} a^{2} = c^{2} - b^{2} = (c - b) (c + b) . \end{matrix}

Itt

a + b - c = d

-ből

c - b = a - d

, ennélfogva az egyetlen ismeretlen

c + b = e

valamely mértani közép szerkesztési eljárással egyenesszakaszként megszerkeszthető, és folytatólag a hiányzó oldalak is:

\begin{matrix} c = \frac{(c - b) + (c + b)}{2} = \frac{a - d + e}{2} és b = \frac{e - a + d}{2} . \end{matrix}

2. ábra

A 2. ábra kezdő lépései egyeznek az 1. ábráéival; a

B B''

-re

B

-ben állított merőleges

B' C

-n a

B'' D = (c - b) + (c + b) = 2 c

szakasz végpontját metszi ki, végül

B'' D

felezőpontjában

A

-t kapjuk, mert

A C = A B'' - C B'' = c - (c - b) = b

(vagy

A C = C D - A D = c + b - c = b

Török András (Nagykőrös, Arany J. g. I. o. t.)

IV. megoldás: Küszöböljük ki az

a + b - d = c

egyenletből Pythagoras tételével

c

-t:

a + b - d = \sqrt[]{a^{2} + b^{2}}

. Innen négyzetreemelés és rendezés után a

b

oldalra adódó

\begin{matrix} b = \frac{d (2 a - d)}{2 (a - d)} \end{matrix}

kifejezés negyedik arányosként szerkeszthető meg.

Dudás József (Bp. XIII., Bolyai J. g. II. o. t.)