Kezdőlap


Feladat:	484. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kátai Szabolcs
Füzet:	1958/december, 142. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/március: 484. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kívánt egyenlet felállításáról csak akkor lehet szó, ha $y_{1}$ és $y_{2}$ mindegyike szám, vagyis nevezőjük nem $0$ , más szóval ha $x_{1}$ és $x_{2}$ különbözik $1$ -től; feltesszük ezért, hogy $x = 1$ nem elégíti ki az adott egyenletet, azaz fennáll: $1 + p + q \neq 0$ . A keresett egyenlet együtthatóit lényegében $y_{1}$ és $y_{2}$ összege illetőleg szorzata adja meg. Mivel a két gyök $x_{1}$ és $x_{2}$ felcserélésével egymásba megy át, remélhető, hogy ezek a kifejezések közvetlenül átalakíthatók $x_{1} + x_{2}$ és $x_{1} x_{2}$ kifejezésévé, és így felírhatók $p$ és $q$ -val a gyökképlet alkalmazása nélkül. (Egyébként a feladat ‐ kimondatlanul ‐ nyilván ezt kívánja.) A gyökök és együtthatók közti összefüggés szerint, ha a keresett egyenletet $a y^{2} + b y + c = 0$ alakban írjuk és felhasználjuk, hogy $x_{1} + x_{2} = - p$ , $x_{1} x_{2} = q$ , akkor

\begin{matrix} \frac{c}{a} = y_{1} y_{2} = \frac{x_{1} (1 + x_{1}) x_{2} (1 + x_{2})}{(1 - x_{2}) (1 - x_{1})} = \frac{x_{1} x_{2} [1 + (x_{1} + x_{2}) + x_{1} x_{2}]}{1 - (x_{1} + x_{2}) + x_{1} x_{2}} = \frac{q (1 - p + q)}{1 + p + q}, \\ \frac{b}{a} = - (y_{1} + y_{2}) = - \frac{(x_{1} + x_{1}^{2}) (1 - x_{1}) + (x_{2} + x_{2}^{2}) (1 - x^{2})}{(1 - x_{2}) (1 - x_{1})} = \frac{x_{1}^{3} + x_{2}^{2} - (x_{1} + x_{2})}{1 + p + q} = \\ = \frac{{(x_{1} + x_{2})}^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) - (x_{1} + x_{2})}{1 + p + q} = \frac{- p^{3} + 3 p q + p}{1 + p + q} = \frac{p (1 + 3 q - p^{2})}{1 + p + q} . \end{matrix}

tehát pl.

a = 1

választással egy az előírásnak megfelelő egyenlet:

\begin{matrix} y^{2} + \frac{p (1 + 3 q - p^{2})}{1 + p + q} y + \frac{q (1 - p + q)}{1 + p + q} = 0, \end{matrix}

vagy,

a = 1 + p + q

választással (amivel

a \neq 0

, tehát az egyenlet valóban másodfokú):

\begin{matrix} (1 + p + q) y^{2} + p (1 + 3 q - p^{2}) y + q (1 - p + q) = 0. \end{matrix}

(1)

Pl.

p = - 1

q = - 12

-vel az adott egyenlet gyökei

x_{1} = - 3

x_{2} = 4

, az (1) egyenlet:

- 12 y^{2} + 36 y + 120 = 0

, ennek gyökei:

y_{1} = - 2

y_{2} = 5

, és ezek, valamint

x_{1}

és

x_{2}

között valóban fennállanak az előírt összefüggések.

Kátai Szabolcs (Bp. I., Toldy F. g. I. o. t.)