Kezdőlap


Feladat:	480. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Biborka Tamás , Gonda Júlia
Füzet:	1958/november, 88 - 89. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/március: 480. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A létra hosszát $x$ -szel jelölve a fal magassága $x + 2 \frac{2}{3} = \frac{3 x + 8}{3}$ . Feltesszük, hogy a fal merőleges a talajra (nem biztos ugyanis, hogy szobában vagyunk, az sem, hogy a fal függőleges; enélkül a feladat határozatlan). Ekkor a létra lábának és csúcsának a fal alapvonalától való $\frac{3}{5} x$ ; ill. $\frac{2}{5} \cdot \frac{3 x + 8}{3} = \frac{6 x + 16}{15}$ távolságai olyan derékszögű háromszöget alkotnak, amelynek átfogója $x$ . Alkalmazzuk Pythagoras tételét ennek ,,függőleges'' befogójára (amelynek kifejezése az $x$ mellett állandót is tartalmaz):

\begin{matrix} {(\frac{6 x + 16}{15})}^{2} = x^{2} - {(\frac{3 x}{5})}^{2} = \frac{16 x^{2}}{25} = {(\frac{4 x}{5})}^{2} . \end{matrix}

Mivel távolságokról van szó, így az egyenlet mindkét oldalán pozitív szám négyzete áll, kell tehát, hogy az alapok is egyenlők legyenek:

\begin{matrix} \frac{6 x + 16}{15} = \frac{4 x}{5} . \end{matrix}

Innen a létra hosszúsága

\begin{matrix} x = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} méter. \end{matrix}

Valóban, így a fal magassága

x + 2 \frac{2}{3} = \frac{16}{3}

méter, a nekitámasztott létra csúcsáé

\frac{2}{5} \cdot \frac{16}{3} = \frac{32}{15}

méter, a létra lába

\frac{3}{5} \cdot \frac{8}{3} = \frac{8}{5}

méternyire van a faltól és e két vetületből a létra hossza:

\begin{matrix} \sqrt[]{{(\frac{32}{15})}^{2} + {(\frac{8}{5})}^{2}} = \sqrt[]{\frac{1024}{225} + \frac{64}{25}} = \sqrt[]{\frac{1600}{225}} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3} méter. \end{matrix}

Gonda Júlia (Makó, József A. g. I. o. t.)

II. megoldás: Vegyük észre a

\frac{3}{5}

adat nevezőjében és számlálójában a legismertebb pythagorasi számhármas (3, 4, 5) átfogószámát és egyik befogószámát, és jelöljük ezért a létra hosszát

5 x

-szel ; ekkor a létra lábának a faltól való távolsága

3 x

és az odatámasztott létra csúcsának magassága

4 x

. Minthogy ez a fal magasságának

\frac{2}{5}

része, azért a fal magassága

4 x : \frac{2}{5} = 10 x

, éppen kétszerese a létra hosszának. Ámde ez másrészt

2 \frac{2}{3} m

-rel több a létra hosszánál, így a keresett hosszúság ugyancsak

2 \frac{2}{3}

méter.

Biborka Tamás (Makó, József A. g. I. o. t.)