Kezdőlap


Feladat:	478. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Gáll Endre , Téry László
Füzet:	1958/november, 86. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Hossz, kerület, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/február: 478. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Számítsuk ki először háromszögünk befogóinak közös $a$ hosszát. Ezekkel az átfogó $a \sqrt[]{2}$ , így az

\begin{matrix} a + a + a \sqrt[]{2} = a (2 + \sqrt[]{2}) = 2 s \end{matrix}

egyenletből

\begin{matrix} a = \frac{2 s}{2 + \sqrt[]{2}} = (2 - \sqrt[]{2}) s = \sqrt[]{2} (\sqrt[]{2} - 1) s, \end{matrix}

és a terület

\begin{matrix} t = \frac{a^{2}}{2} = {(\frac{a}{\sqrt[]{2}})}^{2} = {[(\sqrt[]{2} - 1) s]}^{2} = (3 - 2 \sqrt[]{2}) s^{2} . \end{matrix}

Téry László (Pécs, bányaipari techn. II. o. t.)

II. megoldás: A

2 s

befogójú egyenlőszárú derékszögű háromszögnek a kerülete

2 s + 2 s + 2 \sqrt[]{2} s = 2 s (2 + \sqrt[]{2})

és a területe

2 s^{2}

. A vizsgálandó háromszög hasonló ehhez, megfelelő hosszúságméreteik aránya a kerületekből

2 s : 2 s (2 + \sqrt[]{2}) = 1 : (2 + \sqrt[]{2}) = (\sqrt[]{2} - 1) : \sqrt[]{2}

. Ebből a hasonló idomok területének arányára vonatkozó tétel felhasználásával¹

\begin{matrix} t : 2 s^{2} = {(\sqrt[]{2} - 1)}^{2} : {(\sqrt[]{2})}^{2}, \end{matrix}

és így ismét

\begin{matrix} t = {(\sqrt[]{2} - 1)}^{2} s^{2} \end{matrix}

adódik.

Gáll Endre (Bp. XI., József A. g. I. o. t.)

¹Könnyen igazolható, hogy két hasonló háromszög, általánosabban két hasonló síkidom területének aránya egyenlő egy-egy megfelelő hosszúságméretük (pl. oldal, magasság, kerület, sugár stb.) négyzetének arányával.