Kezdőlap


Feladat:	476. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Mezey Ferenc , Reischl Tamás , Tomcsányi Gyula
Füzet:	1958/november, 84 - 85. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasságvonal, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/február: 476. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük a keresett háromszöget $A B C$ -vel, az adatokat $a$ , $α$ , $m_{b}$ -vel és használjuk fel az utóbbiakat az $α$ , $m_{b}$ , $a$ sorrendben.
A $b$ félegyenesre $A$ végpontjában rámásoljuk $α$ -t. Ennek másik szárát a $b$ -től $m_{b}$ távolságban fekvő $b'$ párhuzamossal metszve $B$ -t kapjuk, végül $C$ -t a $B$ körüli $a$ sugarú körrel metsszük ki $b$ -ből (1. ábra).

1. ábra

Az adott szögre nyilván fennáll:

0^{\circ} < α < 180^{\circ}

B

szerkesztése mindig egyértelmű;

C

-re és vele a keresett háromszögre a megoldások száma

2

1

0

aszerint, hogy a kör hány belső pontban metszi a

b

félegyenest. (Nem tekintjük ugyanis megoldásnak, ha

C

egybeesik

A

-val.) E tekintetben egyrészt

α

-nak hegyes vagy nem hegyes volta lényeges, másrészt

a

-nak

m_{b}

-hez és a létrejövő

A B

szakaszhoz való nagyságviszonya. (

A B

az adatokkal is kifejezhető

\frac{m_{b}}{sin α}

alakban.)
Két megoldás van, ha a

α < 90^{\circ}

és

m_{b} < a < A B

.
Egy megoldás adódik a következő esetekben:

\begin{matrix} ha α & < 90^{\circ} és a = m_{b}, vagy a ≧ A B; \\ ha α & = 90^{\circ} és a > m_{b} = A B; \\ ha α & > 90^{\circ} és a > A B (ekkor persze A B > m_{b}) \end{matrix}

Nincs megoldás,

\begin{matrix} ha & α bármely értéke mellett a < m_{b}; \\ ha & α = 90^{\circ} és a = m_{b}; \\ ha & α > 90^{\circ} és a ≦ A B . \end{matrix}

Tomcsányi Gyula (Bp. I., Toldy F. g. I. o. t.)

II. megoldás: A

B C = a

oldal mint átmérő fölötti Thales-félkört

B

-ből

m_{b}

sugárral metszve megkapjuk

B

-nek

C A

-n levő

B_{1}

vetületét, továbbá a

C B_{1}

egyenesben az

A

csúcs egy mértani helyét (ha

m_{b} = a

, akkor ezt a

C

-ben

C B

-re szerkesztett merőleges adja).

A

-nak másik mértani helye az a körívpár, amelynek pontjaiból a

B C

szakasz látószöge

α

.
E két mértani helynek

C

-től különböző közös pontjai felelnek meg

A

gyanánt (2. ábra).

2. ábra

A

ilyen pont, akkor az

A B C ▵

-ben valóban

B C = a

B A C ∢ = α

és a

B

-ből húzott magasság

B B_{1} = m_{b}

B_{1}

egyértelműen megszerkeszthető, ha

m_{b} ≦ a

. Legyen

B C B_{1} ∢ = γ_{0}

. Mivel a látószög-körívpár tagjaihoz

C

-ben húzott félérintők

C B

-vel

180^{\circ} - α

szöget zárnak be, azért a

C B

-hez

γ_{0}

szöggel hajló

C B_{1}

félegyenes akkor metszi a

B C

-nek vele ugyanegy oldalán levő ívet a

C

-től különböző

A_{1}

pontban, ha

γ_{0} < 180^{\circ} - α

vagyis

\begin{matrix} α < 180^{\circ} - γ_{0} . \end{matrix}

(1)

C B_{1}

-nek

C

-n túl való meghosszabbítása pedig akkor metszi a másik ívet a

C

-től különböző

A_{2}

pontban, ha

180^{\circ} - γ_{0} < 180^{\circ} - α

, vagyis

\begin{matrix} α < γ_{0} . \end{matrix}

(2)

Minthogy

γ_{0}

legfeljebb derékszög, azért (1) jobb oldala nagyobb (2)-énél és így

α < γ_{0}

esetén (1) és (2) alapján két megoldás van;

γ_{0} ≦ α < 180^{\circ} - γ_{0}

esetén (1) alapján egy megoldás van; végül

α ≧ 180^{\circ} - γ_{0}

esetén nincs megoldás.

Mezey Ferenc (Bp. II., Rákóczi F. g. II. o. t.)