Kezdőlap


Feladat:	475. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Hild Erzsébet , Pósch Margit
Füzet:	1958/november, 83 - 84. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/február: 475. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen az $A B C$ egyenlő oldalú háromszög oldalhossza $d$ . A $C$ csúcshoz $d$ -nél közelebb eső pontok a $C$ körüli, $d$ sugarú $c$ körön belül (a körvonal konkáv oldalán) vannak, az $A$ és $B$ csúcstól $d$ -nél távolabb eső pontok pedig az $A$ , ill. $B$ körüli, $d$ sugarú $a$ , $b$ körökön kívül (a körvonalak konvex oldalán).

Ennélfogva

c

-nek

a

, ill.

b

-vel való,

B

, ill.

A

-tól különböző metszéspontját

E

, ill.

D

-vel jelölve (l. az ábrát) a mindhárom követelménynek eleget tevő pontok az

E C

C D

ívekkel és az

A

pontot nem tartalmazó

D E

ívvel határolt síkrész belsejét töltik ki.
Az

A C E

és

B C D

szögek

60^{\circ}

-osak, mert az

A C E

és

B C D

háromszögek egyenlő oldalúak, így

E D

c

-nek átmérője. Ezért a mondott síkrész területét úgy kapjuk, hogy az

E D

átmérő fölötti félkör területéből levonjuk az

a

ill.

b

körnek az

E C

ill.

C D

húrja által lemetszett körszeletek területét. Ez utóbbiak egybevágók, mert sugaruk egyenlő, továbbá

A

, ill.

B

-ben mért látószögük

60^{\circ}

-os, így területük a

d

sugarú kör területe hatodrészének és a

d

oldalú szabályos háromszög területének különbsége:

\begin{matrix} \frac{d^{2} π}{6} - \frac{d^{2} \sqrt[]{3}}{4} . \end{matrix}

Most már a kívánt síkrész területe:

\begin{matrix} \frac{d^{2} π}{2} - 2 (\frac{d^{2} π}{6} - \frac{d^{2} \sqrt[]{3}}{4}) = d^{2} (\frac{π}{6} + \frac{\sqrt[]{3}}{2}) \approx 1, 3896 d^{2} . \end{matrix}

Hild Erzsébet (Békéscsaba, Lorántffy Zsuzsanna lg. II. o. t.)

II. megoldás: A

c

kör

A A'

és

B B'

átmérőinek, valamint

E B'

és

A' D

húrjainak megrajzolásával az I. megoldásban körülhatárolt terület öt részre esik szét.

B' C E ∢ = B C D ∢ = A C E ∢ = A' C D ∢ = 60^{\circ}

alapján az

E B'

, ill.

A' D

-vel lemetszett szeleteket

E

, ill.

D

körüli alkalmas irányú

60^{\circ}

-os forgatás az előbb vizsgált

E C

, ill.

C D

szeletekbe viszi át és így a kérdéses síkrész területe annyi, mint az

E C B'

és

C D A'

szabályos háromszögeknek és az

A' B' C

körcikknek együttes területe:

\begin{matrix} 2 \cdot \frac{d^{2} \sqrt[]{3}}{4} + \frac{d^{2} π}{6} . \end{matrix}

Pósch Margit (Bp. XIV., Teleki Blanka lg. II. o. t.)

Megjegyzés: A kérdéses síkrészt határoló körívek pontjai a követelmények közül legalább egynek nem tesznek eleget, ez azonban a terület mértékszámát nem befolyásolja.